Đáp án
Nguồn website dethi123.com
I. KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT 1. Kiến thức
Học sinh cần hiểu, nhớ các khái niệm sau: Về nguyên hàm:
– Định nghĩa nguyên hàm của hàm số: Nói F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x)= f(x), Vxe K.
– Kí hiệu nguyên hàm: Nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì nó cũng có vô số nguyên hàm và tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) là {F(x)+CC R}, ta cũng kí hiệu tập hợp này là [f(x)dx = F(x)+C.
Về tích phân:
– Định nghĩa tích phân của hàm số: Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu số F(6)- F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) (mặc dầu có rất nhiều nguyên hàm của f(x) nhưng hiệu này không phụ thuộc nguyên hàm được chọn để tính).
– Kí hiệu tích phân: Ta dùng kí hiệu [f(x)dx để chỉ tích phân từ a đến b của
hàm số f(x), như vậy | f(x)dx = F(x) = F(6) – F(a).
– Các thuật ngữ: a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
|
I.2. Kĩ năng
1. Nhớ và vận dụng được các công thức nguyên hàm cơ bản và các tính chất của nguyên hàm để tìm được nguyên hàm của một số hàm số đơn giản. Hiểu và vận dụng được phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm được nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.
Ví dụ 1. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không phải là nguyên hàm
của hàm số f(x)= -x + 2x
(x2-x+1) A. F(x)= =* +2x–2
B. G(x) = 4x’ – 3x+3
C. H(x) = 12 – x+1
* D. K(x) = -8×2 +9x-9
x? – x+1
x? – x+1 -x2 + 3x – 2
x? – x+1 Hướng dẫn giải: Bài toán kiểm tra khả năng nhớ định nghĩa nguyên hàm và kĩ năng tính đạo hàm. Để kiểm tra tính đúng sai của mỗi phương án, chỉ cần tính đạo hàm của hàm số ứng với phương án đó xem có bằng f(x) đã cho hay không. Các em học sinh có thể sử dụng công thức tính nhẩm đạo hàm (dễ chứng minh) sau đây:
| 9×2+2 a Crib cl
( arithrew
+
Im
nl
+21
m
X pl
In PL
mx+ nx+p) — ‘(mx? + nx + pl2
–
–
la
bl
–
la b) trong đó 1 = an– bm là định thức của bộ 4 số * *
Im n Cách giải: Ta thấy H(x)= f(x) nên Hx) không phải là nguyên hàm của f(x). Chọn C.
Cách khác: Trong các hàm số F, G, H, K sẽ có 3 hàm số cùng là nguyên hàm của f(x), do đó sẽ có 3 hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Cả 4 hàm số đã cho đều có mẫu thức chung là x? –x+1 nên chỉ cần xét các hiệu hai tử thức. Ta thấy (4x – 3x+3)-(-x^ +2x-2)=f(x2 – x+1) nên g(x)- F(x)=5. Tương tự, K(x)- F(x)=-7, suy ra F(x), G(x), K(x) có đạo hàm bằng nhau nên hàm số duy nhất không phải là nguyên hàm của f(x) chỉ có thể là H(x). Chọn C.
Ví dụ 2. (Câu 9, mã đề 106, đề thi THPTQG 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=7. A. 5 7* dx = =+C.: B. [7* dx = = +C. ;
x +1 c. $ 7* dx = 78+1+C.
D. [ 7* dx = 7* In 7+C. Hướng dẫn giải: Đây là một câu hỏi ở mức độ nhận biết. Học sinh chỉ cần biết khái niệm nguyên hàm, nhận biết được kí hiệu [f(x)dx và nhớ công thức
In 7
nguyên hàm của hàm số mũ (học sinh thường dễ bị nhầm lẫn công thức tính đạo hàm hàm số mũ với công thức tính nguyên hàm hàm số mũ, hoặc nhầm lẫn công thức tính nguyên hàm hàm số mũ với công thức tính nguyên hàm hàm lũy thừa).
Cách giải: Sử dụng công thức [adx = 4 +C, ta thấy [7* dx =’ +C
7x
In 7 nên chọn A. .
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(-x) Hai A. [S(x)dx =sin(* =*]+C. B. $M(x)dx = =sin( 6 – 2}+c. C. [ f(x)dx = sin(+ x +C. D. [ f(x)dx = cos x+C.
Hướng dẫn giải: Câu hỏi ở mức độ thông hiểu. Vì các hàm số lượng giác đều là hàm số tuần hoàn nên một hàm số lượng giác có thể có nhiều cách thể hiện” khác nhau, chẳng hạn sin.
Osx có hình thức khác nhau nhưng cũng là một hàm số, vì thế 3 phương án trả lời A, C, D là một. Vì vậy, ta dự đoán đáp án đúng chỉ có thể là B.
Cách giải: Kiểm tra trực tiếp:
– – – – – – – – – – – -7%).
4
.
2.1.1
Vậy B là đáp án đúng.
Ví dụ 4. (Câu 13, mã đề 103, đề thi THPTQG 2017). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=e + 2x thỏa mãn F(0)= . Tìm F(x). – A. F(x)=e+ x +
B. F(x)= 2e* + x? – C. F(x)=e* + x2 +
D. F(x)=e* + x2 + Hướng dẫn giải: Học sinh cần biết cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ và hàm đa thức, đồng thời nắm được ý nghĩa hằng số C trong công thức nguyên hàm.
Cách giải: Các hàm số e” và 2x có nguyên hàm lần lượt là eo và xo. Do đó, nguyên hàm của f(x)=e^ +2x là F(x)=e^ +x^ +C. Như vậy F(0)=1+C.
2
2
Điều kiện F(0)= tương đương với 1+c=3 hay c=), do đó F(x) = ” +x+ và D là đáp án đúng.
Cách khác: A và C không thỏa mãn điều kiện F(X) = . B không thỏa mãn điều kiện F(x) là một nguyên hàm của f(x). Chọn D.
2. Hiểu và vận dụng được các tính chất cơ bản của tích phân để tính được một vài dạng tích phân quen thuộc. Hiểu và vận dụng được phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số hay bằng cách tích phân từng phần để tính được một số dạng tích phân quen thuộc.
Ví dụ 5. (Câu 25, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017). C
12,
tính I= tính I = 1 f (3x) dx . (3x)dx. .
. . .
. . . . . A. I = 6. B. I = 36. C. I = 2.
D. I =4. Hướng dẫn giải: Để giải câu này, học sinh cần nắm vững công thức đổi biến số, đặc biệt cần nhớ đổi cận tích phân.
Cách giải: Đặt t=3x thì x=t nên d=dt và f(3x)= f(t). | Đổi cận: x=0=t=0 và x=2st=6, do đó
S (3)dx = { $(0);dt = }} $()dt. • Vì tích phân xác định không phụ thuộc vào kí hiệu biến tích phân nên theo giả thiết ta có j ( dt = f(x)dx =12. Do đó 1 = (3x)dx = 4. Chọn D.
Ví dụ 6. (Câu 26, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Biết F(x)=x là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Giá trị của [[1+ f(x)]dx bằng – . .
A. 20. B. 22. C. 26. D. 28.
Hướng dẫn giải: Sử dụng tính chất tích phân của một tổng bằng tổng các tích phân và giả thiết suy ra f(x)dx = . Có thể giải bài toán như sau:
Cách giải: s[1+ f(x)]dx = j dx + F(x)dx=={ + x®=(3+1)+(33–1) = 28. Chọn D. Ví dụ 7. (Câu 27, mã đề 102, đề thi THPTQG 2018). Cho biết
dx _- = a In 3+ b In 5+c In 7, (a,b,c e Q). xVx+4 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a+b=-2c. B. a+b=c. C. a-b=-c. D. a-b=-2c. Cách giải: Đặt t=Vx+4 thì x= -4, dx = 2tat nên
– dx 2dt 1 1 1
xVx+4 t- – 4 21t-2 Đổi cận: x=58 = 45+4 = 3,x= 21st= 421+4 = 5. Do đó
dt
t+2)
there ) (m. -21-mp + 2)* = m3 – ins -in .
Suy ra a=b=),c= | nên a+b =-2c. Chọn A.
Ví dụ 8. (Câu 39, mã đề 112, đề thi THPTQG 2018). Cho hàm số f(x) thỏa mãn (2)= 3 và f'(x)=x[f(x) , VER. Giá trị (1) bằng
Cách giải: Từ giả thiết su
Với x=2 ta có –
–
–
CBC
–4=5–4=1 (do giả thiết
== f *d= [v’dx = 10 +c. Với x=2 ta có Go các- -455-481 (do giá thiết s(2)==kəmén o 1. 2
Do đó và l= nên 10) = 3. Chọn C.
3. Hiểu và biết dùng công thức tính diện tích hình phẳng để tính diện tích một số hình quen thuộc. Hiểu và biết dùng công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay một hình phẳng quanh trục Ox để tính thể tích một số hình quen thuộc.
Ví dụ 9. (Câu 16, mã đề 110, đề thi THPTQG 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= 2+ sinx, trục hoành và các đường thẳng x=0, x= . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V = 21e?. B. V = 21 (1+1). C. V = 21. D. V = 2(a +1). | Hướng dẫn giải: Học sinh chỉ cần nhớ công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục hoành. Cách giải: Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay, ta có
)dx = (2x -cos x)* = 1 (27+2).
in x) di
Do đó chọn B.
II. C U HỎI TRẮC NGHIỆM
3
1. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=cos 2x.
A. f(x)dx= sin 2x+C. B. S()dx = sin 2x+C. *C. $()dx = 2 sin 2x+C. ****D. ()dx = – = sin 2x+c. 2. Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện f'(x) = 1/4x+1.
A. f(x) = 4(4x+1) 3/4x+1+C. B. f(x) = 3(4x+1) 3/4x+1+C..
C. f(x) = 3 (4x+1)*+C. D. F(x)= x(4x+1)*+C. 3. (Câu 41, mã đề 110, đề thi THPTQG 2017). Cho F(x)=(x-1)e^ là một
nguyên hàm của hàm số f(x)e^. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(xe”. A. $f'(x)e>*dx = (x-2)e*+C. B. [ f'(x)e+* dx = 25*** +C.
c. [ f'(x)e?*dx = (2-x)e* +C… D. [ f'(x) e?*dx = (4–2x)e* +C. 4. Tìm f(x), biết F(x) = cos° x là một nguyên hàm của f(x). A. f(x) = 3 sin x cos? x.
B. f(x) = -3sin x cos? x. C. f(x)=-3 sin x cos2x+C. D. f(x) = 3 cos’ x.
16
2-X
5. Tìm f(x), biết | f(x)dx = sin2x + cos2x-a +C.
A. f(x) = cos2x = -sin 2x-e*+C. B. f(x) = 2 cos 2x+2 sin 2x-e”.
C. f(x) = 2 cos2x–2 sin 2x-e*+C. D. f(x) = 2 cos 2x–2 sin 2x-e*. 6. (Câu 32, mã đề 101, đề thi THPTQG 2019). Cho hàm số f(x). Biết
16
16
16
.
f(0)=4 và f(x)= 2cos^x+1, Vx IR, khi đó j f(x)dx bằng A. =’+4 B. *P+147 ca’ +167 +4, D. 7° +167 +16.
A. 16 . 7. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=-cosx, biết F(2017)=1. A. F(x)=sin x+1.
B. F(x) = sin x+1. C. F(x)= 20177
. D. F(x)=-sin x +C. 8. Tìm nguyên hàm f(x) của hàm số e*, biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) đi
qua điểm M(In V2;2). .
A. F(x)=e* +1. B. f(x)=e**. C. F(x) = 2*** +1. D. F(x)=2*** 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. [xod=#+C. B. scos 2xdx = · sin 2x+C.
C. [e’dx = *+C. D. [+dx=1[xl+C. 10. (Câu 42, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Cho hàm số f(x)==
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f'(x) là
e+1
x2 + 2x-1_c.
x +1
.
B.
B.
C.
12 IT
i
:.
2Vx? +1
.
.
c. 2x’ +x+1 c 4* +x+l+C
!
Vx+1
.
95
A. F(x) =
x+1
x+1
11. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f(x)=1+ (w teja? x ? +(1+cos a)x+cos a – 3 x2 +(1+sin 2a)x+sin 2a – 3 x+1 . .
x+1 C. F(x) =*#*+1 D. F(x) = ***73. 12. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=> trên khoảng (0; +ơ), biết
F(e)= 2e. A. F(x)=1+2e –Inx. B. F(x) = Inx+2e-1.
C. F(x) =$+2etc? D. F(x)= }}x+2e-|| 13. Tìm nguyên hàm f(x) của hàm số cos 2x, biết rằng (5) = 2a.
A. f(x)=sin x+27. B. S(x)= x+sin 2x + 37
C. f(x)=2x+7. D. F(x) = sin 2x+28. 14. (Câu 32, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017). Cho F(x)=x là một nguyên
hàm của hàm số f(x)e^. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)e^^. A. [ f'(x)e%*dx = -x +2x+C. B. ff'(x)ez*dx == x2 +x+C.
C. 58″(t)e?* dx =2x? –2x+C. D. 59°(*)e?* dx =– 2×2 +2x+C. 15. Cho f(x) là một hàm số có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn
) = 2x+1.
sin 2x + 21.
thỏa mãn
điều kiện (0)=5 Biá =21. Tinh (5) 1.5() Br(-0. 6.5(E)-7. D. 6)*
16. Cho
c)dx =9. Tín
dx . : **
ing
*
16. Cho hàm số (%) có j red =9. Tinh | 18+) a. …
1. İs(3x)dx=3. B. (34)dx = 27. C. Í f(3x)dx = -3.
D. Í f(3x)dx=1.
.
17. (Câu 41, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017). Một vật . v.
chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đô thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
ot A. s = 23,25 (km).
B. s = 21,58 (km). C. s = 15,50 (km).
D. s = 13,83 (km). .. 4* . 18. (Câu 32, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018). Một chất điểm A xuất phát từ 0,
chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t)=1 to + t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A
180 ’18” bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ 0, chuyển động thẳng cùng hướng với A, nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a (m/s2) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 22 (m/s). B. 15 (m/s). C. 10 (m/s). D. 7 (m/s). 19. (Câu 21, mã đề 102, đề thi THPTQG 2017). .
I
Cho () = 2 và sw)–1. Tình I j|x + 2/8)-38%]. A.1 B.1 c.
1 .17
20. (Câu 3, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Cho jf(x)dx = 2. Giá trị của
[3f(x)dx bằng .
.
A. 5.
B. 6.
D. 8.
🙂
21. Đặt I = ^_dx và t=1+x-1. Khẳng định nào trong các khẳng định
1+Vx-1 sau là sai? A. xdx = (t– 2t + 2)(2t – 2)dt. B. I=— +4 In 2.
11
C.1=(22+68+8+4 dt.
D. teff*-* +86–amk)
22
22. Khẳng định nào sai?
c. Ísin?ads = 0.
n8 xdx = 0.
0.
xdx
:
23. Đặt I = (sinx.coso x.esinoxdx và t=sinox. Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào đúng?
A.1= {(1-ehdi.
C.1=}}/(1+r)dt. 24. B 1 = Limit, va ser
B.1=2¢¢(1-)dt. D. 1=2ļo(1+)dt.
l
24.
Đặt I = 1.
==
và x=—
cost
3V XV
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Adr_ 3 tan tdt dt B. xVx2-9 – 9 tant
cost
D. I
cost
25. Kí hiệu s là diện tích hình thang cong giới hạn bởi vì
đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x= a, x=b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sai?
Olat
A. S=ff(x)dx. B. S=f(-f(x)dx. C. S=||f(x)dx. D. S = f(x)dx.
A y=f(x)
wi
w
.
26. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục,
trục hoành và hai đường thẳng x = a, [ = b như trong hình vẽ bên. Khẳng
định nào đúng? . .
y=f(x)
A. S=b seads. B. s=-fremde. C. S=5156). D. self remodel
dx.
.., nato pay for
int
}T
27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=x và y= x.
—
| 28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 8x,x=2. . A 32 : 3
Ć 6103 B. 128
2 . gr. D. z. 29. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=(x-1),y=0,x=0,x=2.
D. :
· A. 15.
B. 21.
c.
D. 35.
30. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=(x-2)^-1, y=0.
31. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= xlnx, y = 0,xse.
: oc 32. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= tan x, y=0, x=0,x=4. A. In 2. B. In 3.
C. In 4.
D. In 2. 33. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x^ – 4,y= 2x-4,
x= 0,x = 2. 8
4 A. Ž. B.. .. c. 2. . D. 18. i 34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= sin x, y = 0,x= 0,x= T. A. 41. B. 4. .: C. 2.
D. a. . 35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x +1, y= 0,x=0,x=1.
A : B.2. 36. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x – 4x+4, y= 0,
x=0, x=3.
A.5.
B.3.
tan x
х
3
etanx 37. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 24, y= 0,
Xavins óta is also spos t ars A. € -1. B. ev? -1.5 C. ev +1. D. EV3 -1: 38. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=. y=0, x=0, * x= -1. .
…
. A. 2– In 2. B. 3+In 4. c. 2 – In 4. D. 5- In 4. 39. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= cos4x, y= 0, x= 0,
2x -1
Ć
+-1%V=0
al.,144P B. 3.
C. 4.
L
! D. 0,5…08.
4
.
40. Gọi S là số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol
y=2x +3x+1 và y=x -x-2. Tính
h co
4.co(1)-0. B.co(1) – 2.C. col 🙂 – 2. . con(e) *
nød
»
А
-6
41. Gọi S là số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y= xsinx, trục
hoành và hai đường thẳng x=0, x = 1. Khẳng định nào sai? “
A. sin =1. B. cos 25 =1. C. tan=1. D. sin S=1..CA 42. Kí hiệu S, S, lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường y=x^ +1, y=0,x=-1,x=2. Chọn khẳng định đúng.
A. S = Sz. B. S >S2 43. Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x,x-2y+2 = 0, y= 0. Tính S.
: WJ) .00 A. S = 20. B. S = 30. C. S = 40. D. S = 50. 44. Kí hiệu S, S, S, lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn
vị), hình tròn đơn vị (có bán kính bằng đơn vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=21-x,y=2(1-x). Tính tỉ số SAS 2 . ) .A.
S2
sô)) ja A. S,+S; – B. 5,+S; – 1 .C. S,+S; -1D. S; +S= S2 3 2 4 S, 2
S25 45. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x,y=0, x=1,x=8.
62 .: A. V =re?. B. V = ….C. V =18,6. . D. V = 937 46. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình
phẳng giới hạn bởi các đường y= tan x, y = 0,1=0, x
937
ta
A.V-
B.V=
CV
D. V ?
71
C. V==
DV=-.
82
–
15
.
47. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình | phẳng giới hạn bởi các đường y=4-xo,y=0.
5121 A. V = 211. B. V =48. Kí hiệu V,V, lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối | tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng y=-2x+2 và đường cong y=21-x. Hãy so sánh V, V,..
A. V,V2 D. V= 2V. 49. (Câu 47, mã đề 110, đề thi THPTQG 2017). Cho
hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y= f'(x) như hình bên. Đặt g(x)=f(x)=(x-1). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g(3) > g(-3) > g(1). B.g(-3) > g(3) > g(1). ” .. . a sal C. g(1)>g(-3) > g(3). D. g(1)>g(3) > g(-3). venit
….—2 50. (Câu 27, mã đề 112, đề thi THPTQG 2018).
Biết [(2+xin x)dx = ae +be+ c,(a,b,c EQ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a+b=-c. B. a-b=-c. C. a-b=c. D. a+b=c. 51. (Câu 48, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018). Cho hàm số f(x) thỏa mãn, | f'(x) = 2x[f(x)] , xe R. Tính f(1) nếu biết (2) = 2
www
………
IS
I
A
?
R
36
52. (Câu 41, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018).
Cho hai hàm số f(x) = ax + bx + cx-5 và g(x) = 4x^ +x+1, (a,b,c,d,ee R) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm với hoành độ -3, -1, 1 như hình vẽ bên. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đô thị đó. A. 8. B. 4. C. 4,5.) D.5.
53. (Câu 38, mã đề 03, đề minh họa lần 3 năm 2017, Bộ GD-ĐT). Cho hàm số
(x) thỏa mãn )(x+1)/(x)dx =10 và 2 f1) – f(0) = 2. Tính I= [f(x)dx. A. I =-12. B. I = 8. C. 1 =12. D. I=-8.
Đáp án
. Sử dụng cos xdx = sin x +C. 2. f(x) = [f(x)dx với f(x)= 4x +1=(4x +1). + Sử dụng (ax+b)* dx=a. 3. Vì F(x)=(x-1)e là một nguyên hàm của hàm số f(x)e nên
f(x)e^ = F(x)=[(x-1)] = xe’ . Do đó f(x)= xe. – Suy ra f ‘(x) = 1.e* +x.(-e**)=(1-x)e*. Từ đó ta có f'(x)e^ =e’ – xe”. [‘(x)eo dx = [e da-| xe dx =e – | xde’)= -(xe -Jeds)
| = 2e – xe +C=(2-x)e^ +C. Đáp án đúng là C. 4. f(x) = F”(x) = (coso x)’. 6. Ta có f(x) = f(x)dx = [(2cos^x + 1) = 2x + sin2x+C. Điều kiện
f(0)=4 suy ra C=4 nên f|
2
4.
.
.
2
…..
Tu do rowende = Dicas – sin2 + 497&x= P +167** Chonc.
+167+ 4
(2x + – sin 2x +4) dx = –
2
n C.
16
0
10. Gợi ý: Sử dụng công thức tính nguyên hàm từng phần.
Ta có
Ss(v)dx=f(x+1)] (8dx= [(x+1}£f(x)=(x+1)f()=5 $(d(x+1) =(x+1)+ and = *Vd+l+C = “HT+C.
x2 + x
= (x+1)
x ,
dx = 22 11
x-1 Vx2 +1+Ç=- F
V x2 +1
+C..
Chọn D.
x+1
11. Gợi ý: Để dễ tính đạo hàm, nên viết F(x) dưới dạng F(x)= ax+b+ ,.
Ta có x+(1+cosa)x+Cosa-3=x(x+1)+(x+1)cosa-3. Từ đó có thể viết lại hàm số cho trong đáp án A là F(x)=x+cosa- ,,
x+1
F(x)=1+ 2= f(x). A không phải là đáp án cần chọn. Làm tương tự
(x+1) với các đáp án còn lại ta thấy C là đáp án cần chọn. 12. Gợi ý: A, B, C đều thỏa mãn điều kiện F(e)=2e còn D thì không. Sử dụng
bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp, ta thấy B là đáp án đúng. Trên khoảng (0; foo), ta có F(x)=nx+C. Do đó F(e)= ne+C=1+C, vì vậy từ giả thiết F(e)=2e, suy ra 2e=1+C, hay C=2e -1 và
F(x) = lnx+ 2e – 1. B là đáp án đúng. 14. Từ giả thiết suy ra f(xe x = F(x) = 2x, do đó [f(x)e^T =(2x) , từ đó
f'(x) @2x +2f (x)e2x = 2= f'(x)e2+ = 2-2f (x)e2* = 2 – 4x (do f (x)e2+ = 2x ). Suy ra [‘(x)e^xdx =J(2–4x)dx = -2x +2x+C. Chọn D.
khác = (5) – (0), suy ra
15. vì [Fsha = (0)+ C nên
(- sw-t sau.
16. Đổi biến số t=3x. 17. Trong 1 giờ đầu, phương trình vận tốc có dạng v(t)=ato +bt+c. Do parabol
cắt trục tung tại điểm có tung độ 4 và có đỉnh I(2; 9) nên a, b, c thỏa mãn hệ
(c=4
.
a =
(c=4
-= 2
i
4a=-b (4a + 2b = 5
b=5 c=4
(a.22 +b.2+c=0
=>v(t) =-*+51 +4, te[0:1].
Đồ thị hàm số (t) trong đoạn [1;3] là đường thẳng v(t)= V(1)=. Vì vậy quãng đường vật di chuyển được trong 3 giờ là
| Làm tròn kết quả tới hàng phần trăm ta được s = 21,58 (km). Chọn B. 18. Từ giả thiết suy ra tính từ khi A bắt đầu chuyển động cho tới khi bị B đuổi kịp
thì A đi được 15 giây và B đi được 10 giây. Vận tốc của B là vs(t)= [adt = at +C. Mà vg(0) =0 nên vs(t)= at. Từ lúc A bắt đầu chuyển động tới lúc B đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau nên có
G90 19)= adı 47 15 = sa ra= Do đó lúc 8 đuổi kịp thì có vận tốc là v, (10)=10=15 (m/s). Chọn B. 19. Áp dụng các tính chất của tích phân ta có
1- **+27(0) =3(x)}dr = { vår +2} $(x)dx=3}e()dk. Lại có a và theo giá thiết /() a = a(a)ac 1, suy ra 1-Đáp án đúng là C.
2
2
21. C và D cùng đúng hoặc cùng sai, do đó không thể chọn C hoặc D. Từ
t=1+ (x-1 ta có x=t – 21+2, dx =(21–2)dt, suy ra A đúng. Vậy B sai.
22. C sai vi sin” x>0, vre(0:= sinxdx >0. 24. B sai vì ? -9 = 9 = 9 tan = 3 tan|.
V cost
27. Phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đường là x= x. Phương
trình này có đúng hai nghiệm là x=0, x=1. Do đó, diện tích S cần tính là
242
Nguồn website dethi123.com
I. KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT 1. Kiến thức
Học sinh cần hiểu, nhớ các khái niệm sau: Về nguyên hàm:
– Định nghĩa nguyên hàm của hàm số: Nói F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x)= f(x), Vxe K.
– Kí hiệu nguyên hàm: Nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì nó cũng có vô số nguyên hàm và tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) là {F(x)+CC R}, ta cũng kí hiệu tập hợp này là [f(x)dx = F(x)+C.
Về tích phân:
– Định nghĩa tích phân của hàm số: Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu số F(6)- F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) (mặc dầu có rất nhiều nguyên hàm của f(x) nhưng hiệu này không phụ thuộc nguyên hàm được chọn để tính).
– Kí hiệu tích phân: Ta dùng kí hiệu [f(x)dx để chỉ tích phân từ a đến b của
hàm số f(x), như vậy | f(x)dx = F(x) = F(6) – F(a).
– Các thuật ngữ: a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
|
I.2. Kĩ năng
1. Nhớ và vận dụng được các công thức nguyên hàm cơ bản và các tính chất của nguyên hàm để tìm được nguyên hàm của một số hàm số đơn giản. Hiểu và vận dụng được phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm được nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.
Ví dụ 1. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không phải là nguyên hàm
của hàm số f(x)= -x + 2x
(x2-x+1) A. F(x)= =* +2x–2
B. G(x) = 4x’ – 3x+3
C. H(x) = 12 – x+1
* D. K(x) = -8×2 +9x-9
x? – x+1
x? – x+1 -x2 + 3x – 2
x? – x+1 Hướng dẫn giải: Bài toán kiểm tra khả năng nhớ định nghĩa nguyên hàm và kĩ năng tính đạo hàm. Để kiểm tra tính đúng sai của mỗi phương án, chỉ cần tính đạo hàm của hàm số ứng với phương án đó xem có bằng f(x) đã cho hay không. Các em học sinh có thể sử dụng công thức tính nhẩm đạo hàm (dễ chứng minh) sau đây:
| 9×2+2 a Crib cl
( arithrew
+
Im
nl
+21
m
X pl
In PL
mx+ nx+p) — ‘(mx? + nx + pl2
–
–
la
bl
–
la b) trong đó 1 = an– bm là định thức của bộ 4 số * *
Im n Cách giải: Ta thấy H(x)= f(x) nên Hx) không phải là nguyên hàm của f(x). Chọn C.
Cách khác: Trong các hàm số F, G, H, K sẽ có 3 hàm số cùng là nguyên hàm của f(x), do đó sẽ có 3 hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Cả 4 hàm số đã cho đều có mẫu thức chung là x? –x+1 nên chỉ cần xét các hiệu hai tử thức. Ta thấy (4x – 3x+3)-(-x^ +2x-2)=f(x2 – x+1) nên g(x)- F(x)=5. Tương tự, K(x)- F(x)=-7, suy ra F(x), G(x), K(x) có đạo hàm bằng nhau nên hàm số duy nhất không phải là nguyên hàm của f(x) chỉ có thể là H(x). Chọn C.
Ví dụ 2. (Câu 9, mã đề 106, đề thi THPTQG 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=7. A. 5 7* dx = =+C.: B. [7* dx = = +C. ;
x +1 c. $ 7* dx = 78+1+C.
D. [ 7* dx = 7* In 7+C. Hướng dẫn giải: Đây là một câu hỏi ở mức độ nhận biết. Học sinh chỉ cần biết khái niệm nguyên hàm, nhận biết được kí hiệu [f(x)dx và nhớ công thức
In 7
nguyên hàm của hàm số mũ (học sinh thường dễ bị nhầm lẫn công thức tính đạo hàm hàm số mũ với công thức tính nguyên hàm hàm số mũ, hoặc nhầm lẫn công thức tính nguyên hàm hàm số mũ với công thức tính nguyên hàm hàm lũy thừa).
Cách giải: Sử dụng công thức [adx = 4 +C, ta thấy [7* dx =’ +C
7x
In 7 nên chọn A. .
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(-x) Hai A. [S(x)dx =sin(* =*]+C. B. $M(x)dx = =sin( 6 – 2}+c. C. [ f(x)dx = sin(+ x +C. D. [ f(x)dx = cos x+C.
Hướng dẫn giải: Câu hỏi ở mức độ thông hiểu. Vì các hàm số lượng giác đều là hàm số tuần hoàn nên một hàm số lượng giác có thể có nhiều cách thể hiện” khác nhau, chẳng hạn sin.
Osx có hình thức khác nhau nhưng cũng là một hàm số, vì thế 3 phương án trả lời A, C, D là một. Vì vậy, ta dự đoán đáp án đúng chỉ có thể là B.
Cách giải: Kiểm tra trực tiếp:
– – – – – – – – – – – -7%).
4
.
2.1.1
Vậy B là đáp án đúng.
Ví dụ 4. (Câu 13, mã đề 103, đề thi THPTQG 2017). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=e + 2x thỏa mãn F(0)= . Tìm F(x). – A. F(x)=e+ x +
B. F(x)= 2e* + x? – C. F(x)=e* + x2 +
D. F(x)=e* + x2 + Hướng dẫn giải: Học sinh cần biết cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ và hàm đa thức, đồng thời nắm được ý nghĩa hằng số C trong công thức nguyên hàm.
Cách giải: Các hàm số e” và 2x có nguyên hàm lần lượt là eo và xo. Do đó, nguyên hàm của f(x)=e^ +2x là F(x)=e^ +x^ +C. Như vậy F(0)=1+C.
2
2
Điều kiện F(0)= tương đương với 1+c=3 hay c=), do đó F(x) = ” +x+ và D là đáp án đúng.
Cách khác: A và C không thỏa mãn điều kiện F(X) = . B không thỏa mãn điều kiện F(x) là một nguyên hàm của f(x). Chọn D.
2. Hiểu và vận dụng được các tính chất cơ bản của tích phân để tính được một vài dạng tích phân quen thuộc. Hiểu và vận dụng được phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số hay bằng cách tích phân từng phần để tính được một số dạng tích phân quen thuộc.
Ví dụ 5. (Câu 25, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017). C
12,
tính I= tính I = 1 f (3x) dx . (3x)dx. .
. . .
. . . . . A. I = 6. B. I = 36. C. I = 2.
D. I =4. Hướng dẫn giải: Để giải câu này, học sinh cần nắm vững công thức đổi biến số, đặc biệt cần nhớ đổi cận tích phân.
Cách giải: Đặt t=3x thì x=t nên d=dt và f(3x)= f(t). | Đổi cận: x=0=t=0 và x=2st=6, do đó
S (3)dx = { $(0);dt = }} $()dt. • Vì tích phân xác định không phụ thuộc vào kí hiệu biến tích phân nên theo giả thiết ta có j ( dt = f(x)dx =12. Do đó 1 = (3x)dx = 4. Chọn D.
Ví dụ 6. (Câu 26, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Biết F(x)=x là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Giá trị của [[1+ f(x)]dx bằng – . .
A. 20. B. 22. C. 26. D. 28.
Hướng dẫn giải: Sử dụng tính chất tích phân của một tổng bằng tổng các tích phân và giả thiết suy ra f(x)dx = . Có thể giải bài toán như sau:
Cách giải: s[1+ f(x)]dx = j dx + F(x)dx=={ + x®=(3+1)+(33–1) = 28. Chọn D. Ví dụ 7. (Câu 27, mã đề 102, đề thi THPTQG 2018). Cho biết
dx _- = a In 3+ b In 5+c In 7, (a,b,c e Q). xVx+4 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a+b=-2c. B. a+b=c. C. a-b=-c. D. a-b=-2c. Cách giải: Đặt t=Vx+4 thì x= -4, dx = 2tat nên
– dx 2dt 1 1 1
xVx+4 t- – 4 21t-2 Đổi cận: x=58 = 45+4 = 3,x= 21st= 421+4 = 5. Do đó
dt
t+2)
there ) (m. -21-mp + 2)* = m3 – ins -in .
Suy ra a=b=),c= | nên a+b =-2c. Chọn A.
Ví dụ 8. (Câu 39, mã đề 112, đề thi THPTQG 2018). Cho hàm số f(x) thỏa mãn (2)= 3 và f'(x)=x[f(x) , VER. Giá trị (1) bằng
Cách giải: Từ giả thiết su
Với x=2 ta có –
–
–
CBC
–4=5–4=1 (do giả thiết
== f *d= [v’dx = 10 +c. Với x=2 ta có Go các- -455-481 (do giá thiết s(2)==kəmén o 1. 2
Do đó và l= nên 10) = 3. Chọn C.
3. Hiểu và biết dùng công thức tính diện tích hình phẳng để tính diện tích một số hình quen thuộc. Hiểu và biết dùng công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay một hình phẳng quanh trục Ox để tính thể tích một số hình quen thuộc.
Ví dụ 9. (Câu 16, mã đề 110, đề thi THPTQG 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= 2+ sinx, trục hoành và các đường thẳng x=0, x= . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V = 21e?. B. V = 21 (1+1). C. V = 21. D. V = 2(a +1). | Hướng dẫn giải: Học sinh chỉ cần nhớ công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục hoành. Cách giải: Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay, ta có
)dx = (2x -cos x)* = 1 (27+2).
in x) di
Do đó chọn B.
II. C U HỎI TRẮC NGHIỆM
3
1. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=cos 2x.
A. f(x)dx= sin 2x+C. B. S()dx = sin 2x+C. *C. $()dx = 2 sin 2x+C. ****D. ()dx = – = sin 2x+c. 2. Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện f'(x) = 1/4x+1.
A. f(x) = 4(4x+1) 3/4x+1+C. B. f(x) = 3(4x+1) 3/4x+1+C..
C. f(x) = 3 (4x+1)*+C. D. F(x)= x(4x+1)*+C. 3. (Câu 41, mã đề 110, đề thi THPTQG 2017). Cho F(x)=(x-1)e^ là một
nguyên hàm của hàm số f(x)e^. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(xe”. A. $f'(x)e>*dx = (x-2)e*+C. B. [ f'(x)e+* dx = 25*** +C.
c. [ f'(x)e?*dx = (2-x)e* +C… D. [ f'(x) e?*dx = (4–2x)e* +C. 4. Tìm f(x), biết F(x) = cos° x là một nguyên hàm của f(x). A. f(x) = 3 sin x cos? x.
B. f(x) = -3sin x cos? x. C. f(x)=-3 sin x cos2x+C. D. f(x) = 3 cos’ x.
16
2-X
5. Tìm f(x), biết | f(x)dx = sin2x + cos2x-a +C.
A. f(x) = cos2x = -sin 2x-e*+C. B. f(x) = 2 cos 2x+2 sin 2x-e”.
C. f(x) = 2 cos2x–2 sin 2x-e*+C. D. f(x) = 2 cos 2x–2 sin 2x-e*. 6. (Câu 32, mã đề 101, đề thi THPTQG 2019). Cho hàm số f(x). Biết
16
16
16
.
f(0)=4 và f(x)= 2cos^x+1, Vx IR, khi đó j f(x)dx bằng A. =’+4 B. *P+147 ca’ +167 +4, D. 7° +167 +16.
A. 16 . 7. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=-cosx, biết F(2017)=1. A. F(x)=sin x+1.
B. F(x) = sin x+1. C. F(x)= 20177
. D. F(x)=-sin x +C. 8. Tìm nguyên hàm f(x) của hàm số e*, biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) đi
qua điểm M(In V2;2). .
A. F(x)=e* +1. B. f(x)=e**. C. F(x) = 2*** +1. D. F(x)=2*** 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. [xod=#+C. B. scos 2xdx = · sin 2x+C.
C. [e’dx = *+C. D. [+dx=1[xl+C. 10. (Câu 42, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Cho hàm số f(x)==
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f'(x) là
e+1
x2 + 2x-1_c.
x +1
.
B.
B.
C.
12 IT
i
:.
2Vx? +1
.
.
c. 2x’ +x+1 c 4* +x+l+C
!
Vx+1
.
95
A. F(x) =
x+1
x+1
11. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f(x)=1+ (w teja? x ? +(1+cos a)x+cos a – 3 x2 +(1+sin 2a)x+sin 2a – 3 x+1 . .
x+1 C. F(x) =*#*+1 D. F(x) = ***73. 12. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=> trên khoảng (0; +ơ), biết
F(e)= 2e. A. F(x)=1+2e –Inx. B. F(x) = Inx+2e-1.
C. F(x) =$+2etc? D. F(x)= }}x+2e-|| 13. Tìm nguyên hàm f(x) của hàm số cos 2x, biết rằng (5) = 2a.
A. f(x)=sin x+27. B. S(x)= x+sin 2x + 37
C. f(x)=2x+7. D. F(x) = sin 2x+28. 14. (Câu 32, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017). Cho F(x)=x là một nguyên
hàm của hàm số f(x)e^. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)e^^. A. [ f'(x)e%*dx = -x +2x+C. B. ff'(x)ez*dx == x2 +x+C.
C. 58″(t)e?* dx =2x? –2x+C. D. 59°(*)e?* dx =– 2×2 +2x+C. 15. Cho f(x) là một hàm số có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn
) = 2x+1.
sin 2x + 21.
thỏa mãn
điều kiện (0)=5 Biá =21. Tinh (5) 1.5() Br(-0. 6.5(E)-7. D. 6)*
16. Cho
c)dx =9. Tín
dx . : **
ing
*
16. Cho hàm số (%) có j red =9. Tinh | 18+) a. …
1. İs(3x)dx=3. B. (34)dx = 27. C. Í f(3x)dx = -3.
D. Í f(3x)dx=1.
.
17. (Câu 41, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017). Một vật . v.
chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đô thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
ot A. s = 23,25 (km).
B. s = 21,58 (km). C. s = 15,50 (km).
D. s = 13,83 (km). .. 4* . 18. (Câu 32, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018). Một chất điểm A xuất phát từ 0,
chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t)=1 to + t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A
180 ’18” bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ 0, chuyển động thẳng cùng hướng với A, nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a (m/s2) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 22 (m/s). B. 15 (m/s). C. 10 (m/s). D. 7 (m/s). 19. (Câu 21, mã đề 102, đề thi THPTQG 2017). .
I
Cho () = 2 và sw)–1. Tình I j|x + 2/8)-38%]. A.1 B.1 c.
1 .17
20. (Câu 3, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Cho jf(x)dx = 2. Giá trị của
[3f(x)dx bằng .
.
A. 5.
B. 6.
D. 8.
🙂
21. Đặt I = ^_dx và t=1+x-1. Khẳng định nào trong các khẳng định
1+Vx-1 sau là sai? A. xdx = (t– 2t + 2)(2t – 2)dt. B. I=— +4 In 2.
11
C.1=(22+68+8+4 dt.
D. teff*-* +86–amk)
22
22. Khẳng định nào sai?
c. Ísin?ads = 0.
n8 xdx = 0.
0.
xdx
:
23. Đặt I = (sinx.coso x.esinoxdx và t=sinox. Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào đúng?
A.1= {(1-ehdi.
C.1=}}/(1+r)dt. 24. B 1 = Limit, va ser
B.1=2¢¢(1-)dt. D. 1=2ļo(1+)dt.
l
24.
Đặt I = 1.
==
và x=—
cost
3V XV
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Adr_ 3 tan tdt dt B. xVx2-9 – 9 tant
cost
D. I
cost
25. Kí hiệu s là diện tích hình thang cong giới hạn bởi vì
đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x= a, x=b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sai?
Olat
A. S=ff(x)dx. B. S=f(-f(x)dx. C. S=||f(x)dx. D. S = f(x)dx.
A y=f(x)
wi
w
.
26. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục,
trục hoành và hai đường thẳng x = a, [ = b như trong hình vẽ bên. Khẳng
định nào đúng? . .
y=f(x)
A. S=b seads. B. s=-fremde. C. S=5156). D. self remodel
dx.
.., nato pay for
int
}T
27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=x và y= x.
—
| 28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 8x,x=2. . A 32 : 3
Ć 6103 B. 128
2 . gr. D. z. 29. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=(x-1),y=0,x=0,x=2.
D. :
· A. 15.
B. 21.
c.
D. 35.
30. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=(x-2)^-1, y=0.
31. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= xlnx, y = 0,xse.
: oc 32. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= tan x, y=0, x=0,x=4. A. In 2. B. In 3.
C. In 4.
D. In 2. 33. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x^ – 4,y= 2x-4,
x= 0,x = 2. 8
4 A. Ž. B.. .. c. 2. . D. 18. i 34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= sin x, y = 0,x= 0,x= T. A. 41. B. 4. .: C. 2.
D. a. . 35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x +1, y= 0,x=0,x=1.
A : B.2. 36. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x – 4x+4, y= 0,
x=0, x=3.
A.5.
B.3.
tan x
х
3
etanx 37. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 24, y= 0,
Xavins óta is also spos t ars A. € -1. B. ev? -1.5 C. ev +1. D. EV3 -1: 38. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=. y=0, x=0, * x= -1. .
…
. A. 2– In 2. B. 3+In 4. c. 2 – In 4. D. 5- In 4. 39. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= cos4x, y= 0, x= 0,
2x -1
Ć
+-1%V=0
al.,144P B. 3.
C. 4.
L
! D. 0,5…08.
4
.
40. Gọi S là số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol
y=2x +3x+1 và y=x -x-2. Tính
h co
4.co(1)-0. B.co(1) – 2.C. col 🙂 – 2. . con(e) *
nød
»
А
-6
41. Gọi S là số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y= xsinx, trục
hoành và hai đường thẳng x=0, x = 1. Khẳng định nào sai? “
A. sin =1. B. cos 25 =1. C. tan=1. D. sin S=1..CA 42. Kí hiệu S, S, lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường y=x^ +1, y=0,x=-1,x=2. Chọn khẳng định đúng.
A. S = Sz. B. S >S2 43. Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x,x-2y+2 = 0, y= 0. Tính S.
: WJ) .00 A. S = 20. B. S = 30. C. S = 40. D. S = 50. 44. Kí hiệu S, S, S, lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn
vị), hình tròn đơn vị (có bán kính bằng đơn vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=21-x,y=2(1-x). Tính tỉ số SAS 2 . ) .A.
S2
sô)) ja A. S,+S; – B. 5,+S; – 1 .C. S,+S; -1D. S; +S= S2 3 2 4 S, 2
S25 45. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x,y=0, x=1,x=8.
62 .: A. V =re?. B. V = ….C. V =18,6. . D. V = 937 46. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình
phẳng giới hạn bởi các đường y= tan x, y = 0,1=0, x
937
ta
A.V-
B.V=
CV
D. V ?
71
C. V==
DV=-.
82
–
15
.
47. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình | phẳng giới hạn bởi các đường y=4-xo,y=0.
5121 A. V = 211. B. V =48. Kí hiệu V,V, lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối | tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng y=-2x+2 và đường cong y=21-x. Hãy so sánh V, V,..
A. V,V2 D. V= 2V. 49. (Câu 47, mã đề 110, đề thi THPTQG 2017). Cho
hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y= f'(x) như hình bên. Đặt g(x)=f(x)=(x-1). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g(3) > g(-3) > g(1). B.g(-3) > g(3) > g(1). ” .. . a sal C. g(1)>g(-3) > g(3). D. g(1)>g(3) > g(-3). venit
….—2 50. (Câu 27, mã đề 112, đề thi THPTQG 2018).
Biết [(2+xin x)dx = ae +be+ c,(a,b,c EQ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a+b=-c. B. a-b=-c. C. a-b=c. D. a+b=c. 51. (Câu 48, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018). Cho hàm số f(x) thỏa mãn, | f'(x) = 2x[f(x)] , xe R. Tính f(1) nếu biết (2) = 2
www
………
IS
I
A
?
R
36
52. (Câu 41, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018).
Cho hai hàm số f(x) = ax + bx + cx-5 và g(x) = 4x^ +x+1, (a,b,c,d,ee R) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm với hoành độ -3, -1, 1 như hình vẽ bên. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đô thị đó. A. 8. B. 4. C. 4,5.) D.5.
53. (Câu 38, mã đề 03, đề minh họa lần 3 năm 2017, Bộ GD-ĐT). Cho hàm số
(x) thỏa mãn )(x+1)/(x)dx =10 và 2 f1) – f(0) = 2. Tính I= [f(x)dx. A. I =-12. B. I = 8. C. 1 =12. D. I=-8.
Đáp án
. Sử dụng cos xdx = sin x +C. 2. f(x) = [f(x)dx với f(x)= 4x +1=(4x +1). + Sử dụng (ax+b)* dx=a. 3. Vì F(x)=(x-1)e là một nguyên hàm của hàm số f(x)e nên
f(x)e^ = F(x)=[(x-1)] = xe’ . Do đó f(x)= xe. – Suy ra f ‘(x) = 1.e* +x.(-e**)=(1-x)e*. Từ đó ta có f'(x)e^ =e’ – xe”. [‘(x)eo dx = [e da-| xe dx =e – | xde’)= -(xe -Jeds)
| = 2e – xe +C=(2-x)e^ +C. Đáp án đúng là C. 4. f(x) = F”(x) = (coso x)’. 6. Ta có f(x) = f(x)dx = [(2cos^x + 1) = 2x + sin2x+C. Điều kiện
f(0)=4 suy ra C=4 nên f|
2
4.
.
.
2
…..
Tu do rowende = Dicas – sin2 + 497&x= P +167** Chonc.
+167+ 4
(2x + – sin 2x +4) dx = –
2
n C.
16
0
10. Gợi ý: Sử dụng công thức tính nguyên hàm từng phần.
Ta có
Ss(v)dx=f(x+1)] (8dx= [(x+1}£f(x)=(x+1)f()=5 $(d(x+1) =(x+1)+ and = *Vd+l+C = “HT+C.
x2 + x
= (x+1)
x ,
dx = 22 11
x-1 Vx2 +1+Ç=- F
V x2 +1
+C..
Chọn D.
x+1
11. Gợi ý: Để dễ tính đạo hàm, nên viết F(x) dưới dạng F(x)= ax+b+ ,.
Ta có x+(1+cosa)x+Cosa-3=x(x+1)+(x+1)cosa-3. Từ đó có thể viết lại hàm số cho trong đáp án A là F(x)=x+cosa- ,,
x+1
F(x)=1+ 2= f(x). A không phải là đáp án cần chọn. Làm tương tự
(x+1) với các đáp án còn lại ta thấy C là đáp án cần chọn. 12. Gợi ý: A, B, C đều thỏa mãn điều kiện F(e)=2e còn D thì không. Sử dụng
bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp, ta thấy B là đáp án đúng. Trên khoảng (0; foo), ta có F(x)=nx+C. Do đó F(e)= ne+C=1+C, vì vậy từ giả thiết F(e)=2e, suy ra 2e=1+C, hay C=2e -1 và
F(x) = lnx+ 2e – 1. B là đáp án đúng. 14. Từ giả thiết suy ra f(xe x = F(x) = 2x, do đó [f(x)e^T =(2x) , từ đó
f'(x) @2x +2f (x)e2x = 2= f'(x)e2+ = 2-2f (x)e2* = 2 – 4x (do f (x)e2+ = 2x ). Suy ra [‘(x)e^xdx =J(2–4x)dx = -2x +2x+C. Chọn D.
khác = (5) – (0), suy ra
15. vì [Fsha = (0)+ C nên
(- sw-t sau.
16. Đổi biến số t=3x. 17. Trong 1 giờ đầu, phương trình vận tốc có dạng v(t)=ato +bt+c. Do parabol
cắt trục tung tại điểm có tung độ 4 và có đỉnh I(2; 9) nên a, b, c thỏa mãn hệ
(c=4
.
a =
(c=4
-= 2
i
4a=-b (4a + 2b = 5
b=5 c=4
(a.22 +b.2+c=0
=>v(t) =-*+51 +4, te[0:1].
Đồ thị hàm số (t) trong đoạn [1;3] là đường thẳng v(t)= V(1)=. Vì vậy quãng đường vật di chuyển được trong 3 giờ là
| Làm tròn kết quả tới hàng phần trăm ta được s = 21,58 (km). Chọn B. 18. Từ giả thiết suy ra tính từ khi A bắt đầu chuyển động cho tới khi bị B đuổi kịp
thì A đi được 15 giây và B đi được 10 giây. Vận tốc của B là vs(t)= [adt = at +C. Mà vg(0) =0 nên vs(t)= at. Từ lúc A bắt đầu chuyển động tới lúc B đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau nên có
G90 19)= adı 47 15 = sa ra= Do đó lúc 8 đuổi kịp thì có vận tốc là v, (10)=10=15 (m/s). Chọn B. 19. Áp dụng các tính chất của tích phân ta có
1- **+27(0) =3(x)}dr = { vår +2} $(x)dx=3}e()dk. Lại có a và theo giá thiết /() a = a(a)ac 1, suy ra 1-Đáp án đúng là C.
2
2
21. C và D cùng đúng hoặc cùng sai, do đó không thể chọn C hoặc D. Từ
t=1+ (x-1 ta có x=t – 21+2, dx =(21–2)dt, suy ra A đúng. Vậy B sai.
22. C sai vi sin” x>0, vre(0:= sinxdx >0. 24. B sai vì ? -9 = 9 = 9 tan = 3 tan|.
V cost
27. Phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đường là x= x. Phương
trình này có đúng hai nghiệm là x=0, x=1. Do đó, diện tích S cần tính là
242
s = |x -V1 da. Chú ý rằng trong khoảng 60 ; 1) phương trình x-4x =0
không có nghiệm nên x-x có dấu không đổi. Do đó, s
(Các câu 28 – 34 giải tương tự). 40-41. Tính S tương tự như trong các câu 27, 39, sau đó sử dụng giá trị lượng giác
của các cung lượng giác đặc biệt.
. Các câu 46, 47 làm tương tự.
42. S = 1,52 = [ (x2+1)dx. : 43. H có diện tích gấp 30 lần diện tích hình giới hạn bởi các đường
v= x=2x-2y=0. Do đó S = 30 – 2y2 da. 44. S1,85 = ,5-|(201–)-2V1=P Jard 45. v = [(4%) da. Các câu 46, 47 làm tương tự. – – 48. Có i na usv. ==|(2×1=){-(-2x+2%)cel. 49. Theo giả thiết g(x)=2f(x)(x+1) suy ra :
8′(x) = 2 f ‘(x) – 2(x+1)=2[f'(x)-(x+1)]. Từ đồ thị suy ra đường thẳng y=x+1 cắt đồ thị y= f'(x) tại ba điểm A(-3;-2), B(1;2),C(3;4). Suy ra g'(-3)=g'(1)=g'(3)=0 và g'(x) có 2A dấu như sau:
-00 -3 . 1. 3 too g'(x) = 0 + 0 – 0 +
2 — XBs
1
uy ra
Từ đó suy ra g(1) là số lớn nhất trong ba số g(-3), g(1), g(3), vì vậy A và B là các phương án trả lời sai. Để xét C và D, ta chỉ cần so sánh hai giá trị g(-3) và g(3). Để làm điều này, chú ý rằng diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f'(x), y=x+1 và hai đường thẳng x=-3, x = 1 lớn hơn diện tích s, của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f'(x),y=x+1 và hai đường thẳng x= 1, x= 3. Do đó [F(x)-(x+1)]=> [[x+1-f(x)]da. Mà f'(x)-(x+1)= 4(x) nên suy ra
$38()dx >} = 38″(*)dx } [s(-ė(-1)]> } [s(1)-8(3)]. Do đó =g(-3)>-g(3)=g(3)>g(-3). Vậy D là đáp án đúng. 52. Diện tích cần tính là S= j|f(x)-g(x) da . Từ giả thiết về các hệ số của
f(x).g(x) suy ra f(x)-g(x) là đa thức bậc ba có hệ số bậc ba là a, số hạng tự do là . Ngoài ra phương trình bậc ba f(x)-g(x) =0 có ba nghiệm -3,-1, 1 nên f(x)-g(x) = a(x+3)x -1) = ax + 3, do đó <3am 3-4=; vi vậy f(x)=f(x)=3(x+3)(x2-1)=s= }}|(x+3)(x2-1) dx = 4.
(Có thể sử dụng máy tính cầm tay tính tích phân này cho nhanh). 53. Sử dụng giả thiết và áp dụng tích phân từng phần ta có
10= }(x+1)} (x)dx = f(x + 1)£f(x)=(x+1)f(x)% – 5s«]d[x+1) #10 = 2 f(1)-f(0)-1 = 2-1=I= -8 (dùng giả thiết 2 f(1)- f(0) = 2).
-3
-3
Đáp án
Câu | |
Đáp án
Đáp án
Câu
:
C
37
38
B B
39
40
Câu 19 20 21 22 23 24 25 26 27
41
42
43
44
45
9 10
28
11
29
12
30 31
46 47 48 49 50
13
14
32
15
33
51
34
16 17
Α B B
52 53
35
18
L
36