Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp Trung học phổ thông quốc gia năm học 2022 môn Toán-Phần một. Ôn tập theo chủ đề-Chủ đề 9. Khối đa diện

Đáp án

Nguồn website dethi123.com

. I. KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT | Về các khối (hình) đa diện, ta chủ yếu đề cập đến khối (hình) lăng trụ và khối (hình) chóp. Các khái niệm: 1. Khối (hình) lăng trụ tam giác (tứ giác, .., n-giác) . – Đặc điểm: Hai mặt đáy là hai tam giác (tứ giác, …, n-giác (lồi)) bằng nhau, hai mặt phẳng) đáy song song; các mặt bên là những hình bình hành; các cạnh bên song song và bằng nhau, có thể nói đến góc giữa cạnh bên và mặt phẳng) đáy; về kí hiệu, chẳng hạn, thường viết khối (hình) lăng trụ tam giác là ABC.A’B’C’, khối (hình) lăng trụ tứ giác là ABCD.A’B’C’D’, … Chiều cao là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy; chẳng hạn nếu cạnh bên dài & và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng a thì chiều cao là h= { sin a. – Khối (hình) lăng trụ đứng là khối (hình) lăng trụ mà cạnh bên vuông góc với mặt phẳng) đáy, cũng tức là mỗi mặt bên là một hình chữ nhật; mặt phẳng chứa một mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy; độ dài mỗi cạnh bên là chiều cao của khối (hình). – Khối (hình) lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều, …, n-giác đều là khối (hình) lăng trụ đứng mà đáy là tam giác đều, tứ giác đều, …, n-giác đều. Cần phân biệt, chẳng hạn, hình lăng trụ tam giác đều với hình lăng trụ có đáy là tam giác đều. – Khối (hình) hộp là khối lăng trụ (tứ giác) mà đáy là hình bình hành; khi đó mọi mặt bên cũng như mặt đáy của nó đều là hình bình hành. Vậy hình hộp có 6 mặt, hai mặt nằm trên hai mặt phẳng song song gọi là hai mặt đối diện; hình hộp có 8 đỉnh, hai định không cùng nằm trên một mặt là hai đỉnh đối diện; hình hộp có 12 cạnh, hai cạnh đối diện là hai cạnh không cùng nằm trên một mặt nào. Hình hộp có bốn đường chéo là bốn đoạn thẳng nối 4 cặp đỉnh đối diện, bốn đường chéo này cắt nhau tại một điểm là tâm (đối xứng) của hình hộp. (Cần phân biệt đường chéo của hình hộp với đường chéo của một mặt của hình hộp!). Khối hộp đúng là khối hộp mà cạnh bên vuông góc với mặt phẳng) đáy. – Khối (hình) hộp chữ nhật là khối (hình) hộp đứng mà đáy là hình chữ nhật, tức là khối (hình) lăng trụ đứng mà đáy là hình chữ nhật; 6 mặt của nó đều là hình chữ nhật; ba cạnh cùng đi qua một đỉnh vuông góc với nhau từng đôi một; bốn đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài bằng nhau: hình hộp chữ nhật kích thước a, b, c (độ dài ba cạnh cùng qua một đỉnh) thì đường chéo có độ dài là a + b + c ; mỗi mặt phẳng đi qua các trung điểm của bốn cạnh song song là một mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật (cần phân biệt hình hộp chữ nhật với hình hộp mà đáy là hình chữ nhật). – Khối (hình) lập phương cạnh a là khối hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng a; 6 mặt của nó đều là hình vuông; mỗi mặt phẳng đi qua cặp cạnh đối diện là một mặt phẳng đối xứng của hình lập phương. – Thể tích của khối lăng trụ là V = Bh, trong đó B là diện tích của đa giác đáy, h là chiều cao của khối; diện tích xung quanh của khối (hình) lăng trụ là tổng diện tích các mặt bên của nó; diện tích toàn phần của khối (hình) lăng trụ là tổng diện tích xung quanh với diện tích hai mặt đáy của nó. Thể tích của khối hộp chữ nhật kích thước a, b, c là y = abc, diện tích toàn phần của nó là 2(ab + bc + ca); thể tích khối lập phương cạnh a là a, diện tích toàn phần của nó là bao. Để nhanh chóng trả lời câu hỏi trắc nghiệm về thể tích, diện tích của khối (hình) lăng trụ, cần nhớ một số công thức (đã biết từ cấp THCS) tính diện tích tam giác như S = ah (a là độ dài một cạnh, h là chiều cao tương ứng với cạnh đó, S=bc sin A (b, c là độ dài hai cạnh, A là góc kẹp giữa hai cạnh đó), công thức Hê-rông, .. 82 2. Khối (hình) chóp tam giác (tứ giác, …, n-giác) – Đặc điểm: Đỉnh S; (mặt) đáy là tam giác (tứ giác, …, n-giác (lồi)), n cạnh đáy, n cạnh bên, n mặt bên, mỗi mặt bên là một tam giác; đường cao là đoạn thẳng nối từ đỉnh S đến hình chiếu H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy ( không buộc nằm bên trong đa giác đáy); chiều cao là khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy. Cần phân biệt khối (hình) chóp tam giác với khối (hình) tứ diện: khối tứ diện có 4 đỉnh (không cùng năm trong một mặt phẳng), 6 cạnh, 4 mặt, có 4 đường cao (xuất phát từ 4 đình). – Khối (hình) chóp tam giác (tứ giác, …, n-giác) đều: khối (hình) chóp có đáy là tam giác (tứ giác, …, n-giác) đều và có độ dài các cạnh bên bằng nhau (hay có chân đường cao H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). Cần phân biệt khối (hình) chóp đa giác đều với khối chóp có đáy là đa giác đều; cần phân biệt khối (hình) chóp tam giác đều (không chắc có 6 cạnh bằng nhau) với tứ diện đều. Trong khối (hình) chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau; góc giữa mỗi mặt bên với mặt phẳng đáy là không đổi, nếu J là hình chiếu của H trên một cạnh đáy thì góc đó là SJH, từ đó chiều cao của khối (hình) chóp là h= SJ sin SJH. Các cạnh bên của khối (hình) chóp đều có độ dài bằng nhau, góc giữa mỗi cạnh bên với mặt phẳng đáy là không đổi; nếu Ai là một đỉnh của đa giác đáy thì góc đó là SAH, từ đó chiều cao của khối (hình) chóp là h = SA, sin SAH. Chân đường cao H cách đều các mặt bên và cũng cách đều các cạnh bên của khối (hình) chóp đều. … . 1 – Thể tích của khối chóp là y =- Bh , B là diện tích đa giác đáy, h là chiều cao của khối chóp (cần nhớ hệ số 4 này!). Công thức này giúp ta đôi khi tính được khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hoặc diện tích của đa giác (khi biết thể tích). Diện tích xung quanh của khối (hình) chóp là tổng diện tích các mặt bên của nó; diện tích toàn phần là tổng diện tích các mặt bên với diện tích mặt đáy. Để giúp tính toán nhanh thể tích khối chóp, nên chú ý các kết quả: * Thể tích khối chóp không thay đổi khi đỉnh thay đổi trên mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy; . * Xét hai khối chóp tam giác cùng đỉnh S.ABC, A + S.A’B’C’ mà các bộ ba điểm (S, A, A’); (S, B, B”) và (S,C,C) thẳng hàng thì YS.ABC – SA SB SC VS.A’B’C’ SA’ SB’ SC’ : (công thức này không đúng cho khối chóp tứ giác!). Ngoài ra, từ công thức tính diện tích tam giác – đều cạnh a là 4 13 (tam giác đều ABC cạnh a có We 41 B ), nhẩm nhanh được thể tích khối tứ chiều cao 43, có trọng tâm G thì GA = diện đều cạnh là do 3. Thể tích khối đa diện – Trong một số trường hợp, để đỡ tính toán dài, nên biết phân chia, ghép khối đa diện để tính nhanh chóng thể tích: Ví dụ 1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Tinh thể tích khối chóp tứ giác ABCC’B’. A. B. civ. D. Žr. Hướng dẫn giải: Nối AB, AC, BC” thì hai khối chóp tam giác A.BCC’ và A.BB’C’ có thể tích bằng nhau, hai khối chóp tam giác C.ABC và A.A’B’C’ có thể tích bằng nhau nên lăng trụ tam giác đã cho được phân chia thành 3 khối chóp tam giác có cùng thể tích và khối chóp tứ giác đang xét là hợp của hai trong ba khối chóp tam giác đó nên ta chọn phương án C. – Nhận xét: Nếu chưa có phương hướng chứng minh, ta có thể thử xét trường hợp riêng quen thuộc: coi lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là “một nửa” của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a thì thấy thể tích của khối lăng trụ đó là 4, còn thể 3 tích của khối chóp A.BCC’B’ bằng độ trong trường hợp này chọn C. Wwwwwwww w wwwwwwwwwww – Ví dụ 2. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Tính thể tích khối chóp A.CB’D. www . A. B. c.v. D. XV. att-og | Hướng dẫn giải: Hình hộp đã cho là hợp của khối chóp đang xét với 4 khối chóp A.AB’D’, B.ABẮC, C’B’CD, D.ACD; 4 khối chóp cuối này cùng có thể tích bằng nên thể tích cần tìm bằng , 4V V Vậy chọn A. B . 7-3. Va – Chú ý rằng mặt phẳng đi qua tâm đối xứng của khối đa diện chia khối thành hai phần có cùng thể tích. – Phép vị tự tỉ số k (định nghĩa tương tự phép vị tự trong mặt phẳng) biến khối đa diện có thể tích V thành khối đa diện có thể tích kỷ y. – Cắt khối chóp đỉnh S bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy để được một khối chóp con” cùng đỉnh S và một khối chóp cụt (mỗi mặt bên là một hình thang), thể tích của khối chóp cụt bằng hiệu thể tích của khối chóp lớn với thể tích khối chóp con. Sau đây ta cùng phân tích và bình luận một số câu hỏi trong các bộ đề thi THPTQG năm 2017, 2018 và 2019 liên quan đến chủ đề Khối đa diện. Câu 18, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 3 mặt phẳng. C. 6 mặt phẳng. D. 8 mặt phẳng. Trước hết ta thấy ngay có 3 mặt phẳng như vậy: đó là các mặt phẳng cách đều hai mặt đối diện của hình hộp. Vậy còn có mặt phẳng đối xứng khác không? Giả thiết kích thước khác nhau của hình hộp được dùng ở đâu? – Coi hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, nếu phép đối xứng f qua mặt phẳng (P) biến hình hộp thành chính nó thì f phải biến mặt trên của hình hộp thành một mặt của hình hộp; do hình hộp có ba kích thước khác nhau nên f không thể biến mặt trên thành một mặt bên. Nếu f biến hình chữ nhật mặt trên (không phải là hình vuông) thành chính nó thì mỗi cạnh của hình chữ nhật phải biến thành chính nó hoặc song song với nó. Ta có hai phép đối xứng như vậy. Còn nếu biến mặt trên thành mặt dưới thì (P) phải là mặt phẳng cách đều mặt phẳng trên và mặt phẳng dưới. Vậy ta có đúng 3 mặt phẳng đối xứng. Chọn đáp án B. Nếu lập luận một cặp mặt đối diện của hình hộp ứng với hai mặt phẳng đối xứng là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và vuông góc với hai mặt đối diện đó và do hình hộp có 3 cặp mặt đối diện nên nó có 6 mặt phẳng đối xứng và chọn đáp án C thì rõ ràng sai vì có trùng lặp! Câu 23, mã đề 103, đề thi THPTQG 2017. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? | A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình lăng trụ thành chính nó phải biến đáy lăng trụ thành chính nó hoặc thành đáy kia. Nếu giữ nguyên đáy thì do đáy là tam giác đều suy ra (P) vuông góc với mặt phẳng đáy và cắt đáy theo đường cao của tam giác đều đó. Có 3 mặt phẳng (P) như vậy. Phép đối xứng biến đáy này thành đáy kia có (P) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng đáy. Vậy chọn Câu 49, mã đề 102, đề thi THPTQG 2017. Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB =x và các cạnh còn lại đều bằng 2/3. Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. x=vo. B. x=v14. C. x=3V2. D. x=273. Hướng dẫn giải: M là trung điểm của cạnh CD thì thể tích V của khối tứ diện là V = SAABM CD mà CD = 2/3 nên cần tìm x để diện tích tam giác ABM đạt giá trị lớn nhất. Ta có ABM là tam giác cân tại M, AM = BM = AC =3, diện tích tam giác BC….: ABM bằng AM’ sin AMB = -sin AMB, nó đạt giá trị lớn nhất khi sin AMB =1, tức là khi tam giác cân ABM vuông tại M, do cạnh bên bằng 3 nên cạnh đáy AB là x= 32. Chọn đáp án C. V = 18 Câu 44, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V. . A. v – 712a B. v – 11/2a C. v – 1372a 216 216 | Ta mở rộng đề bài một ít: tạm bỏ giả thiết tứ diện ABCD là đều và cần tính V theo thể tích Vũ của khối tứ diện ABCD. Gọi P là giao điểm của EM với AD, Q là giao điểm của EN với CD. Hãy tính thể tích V của khối đa diện không chứa A là DPQ.BMN (V+ V’ = Vo). Do P là trọng tâm tam giác ABE nên VE.DPQ _ ED EP EQ _ 1 2 2 _2 VE.BAN EB’ EM EN233 9part. E.L ?. E.BMN 71 – . = E.BMN D.ABC Do đó v’ =Vmen-Vasave = ve men – 2 vowe – je vou và V=V, -v-pisode Trong trường hợp ABCD là tứ diện đều cạnh a thì – sza2 12- nên P – 112a 216 – Chọn đáp án B. | Câu 38, mã đề 112, đề thi THPTQG 2018. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng 5, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C”) là trung điểm M của BC và A’M =45. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng tin ! A. 25 B. V15 c. 15. D. 2/15 | Thiết diện qua A vuông góc với cạnh bên của lăng trụ là tam giác A’BC (B1, Ci lần lượt nằm trên các đường thẳng BB, CC), A’B1 = 1, A’C = 2, 3 .-… K 2 2 BC = 45 , đó là một tam giác vuông tại A”; nó có diện tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC thì MM song song với cạnh bên của lăng trụ; 4’M, BC . Ta có 4MMA là hình thang vuông (vuông tại A và Mi); AM vuông góc với AM (vì A’M nằm trong mặt phẳng (A’B’C’ ), ‘M = 45, 4’M => nên MA’M, = 60°, từ đó A’AM = 60° nên c T. ._AM_2V5_2V15 Thể tích V của khối lăng trụ bằng diện tích thiết diện vuông góc nhân với cạnh bên nên y =22. Vậy chọn đáp án D. 3 Câu 47, mã đề 101, đề thi THPTQG 2019. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB’A’, ACC’A’ và BCC’B’. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P bằng A. 2713. B. 2113. . C. 3073. D. 3613. | Hướng dẫn giải: – Gọi R, S, T lần lượt là trung điểm của AA, BB, CC’ thì ta được hình lăng trụ ABC.RST. Khối . lăng trụ này gồm khối đa diện lối đang xét và ba khối chóp A.RMN, B,SMP, C.TNP. Ba khối chóp này có cùng chiều cao (bằng nửa chiều cao hình lăng trụ ABC.A’B’C’), có cùng diện tích đáy (bằng – diện tích AABC) nên cũng có thể tích ,V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Kí hiệu % là thể tích khối đa diện cần tính thể tích thì được -V, +3 được V= 2.6. 3 nên V = 27 3. Chọn đáp án A. Cách khác: Tính tổng thể tích các khối chóp M.ABC, C.PMN, M.PBC, M.NBC so với thể tích V của khối lăng trụ đã cho; cách này tuy dài hơn cách trên nhưng cũng dễ tính toán. Chọn đáp án A. 24 V suy ra v, – Đề bài cho ta tính II. C U HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Cho tứ diện ABCD có ba mặt ABC, ACD, ADB là ba tam giác cân (cân tại đỉnh A) bằng nhau. Số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đó là A. 6. B. 3. C. 3 hoặc 6. D. 3 hoặc 12. 2. Tổng diện tích các mặt của một khối lập phương là 150 cm. Thể tích của | khối lập phương đó bằng . A. 25 cm?. B. 75 cm?. C. 125 cm? D. 100 cm3. 3. Đáy của một khối hộp đứng là một hình thoi cạnh a, góc nhọn 60°. Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của khối hộp. Tính thể tích của khối hộp đó. A. 3a B a 13 ca2s2 Da s6 3 4. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 6 cm, 8 cm và 10 cm, cạnh bên 14 cm và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30°. Tính thể tích của khối đó. A. 112 cm?. B. 5613 cm?. C. 112V3 cm’ D. 168 cm 5. Một khối lăng trụ tứ giác có đáy là một hình thoi cạnh a, góc nhọn 45°, lăng trụ có cạnh bên 2a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 45°. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng . . A. .. . B. a’.,n C. D. 2a. 6. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB. Tính thể tích của khối tứ diện EBCD. A. c.’. 7. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Đường thẳng đi qua trọng tâm của c ABC song song với BC cắt AB tại D, cắt AC tại E. Mặt phăng đi qua A, D, E chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng. A. :: B. 4 D. 8. Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ia 13 a 12 a 13 12 ‘)) . C. 12 . ‘A! D. 9. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V và P là một điểm trên đường thẳng AA’. Thể tích của khối chóp tứ giác P.BCC’B’bằng pa v3 Α. A. B.Y. c.2V РА’ ОВ 10. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ và điểm P thuộc cạnh AA’, điểm ) thuộc cạnh BB’, điểm R thuộc cạnh CC’ sao cho A = 9. Thể tích khối | lăng trụ đó bằng V, hãy tính thể tích khối chóp tứ giác R.ABQP. B. 11. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xét khối chóp tứ giác đỉnh A, đáy là tứ giác có đỉnh là các tâm của các mặt của khối đó song song với AA? hay chứa AA’. Tính thể tích của khối chóp đó. A. ta. B. ha? 3 12. Diện tích toàn phần của một khối hộp chữ nhật là S, đáy của nó là một hình | vuông cạnh a. Tính thể tích của khối hộp đó. .. 4 A. a(S-2a). B. as_?.. c. as _2a”. D. &(S-2a”). 2 13. Xét khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Mặt phẳng đi qua C’ và các trung điểm | của AA’, BB’chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng. A. 5 B. .. C.1. 14. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Gọi E là trung điểm của A’B’, F là trung điểm của B’C’. Thể tích của khối tứ diện BD’EF bằng 2V 3V . Y A. —. – B. Ž in C. 10 . 15. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Mặt phẳng đi qua đỉnh A, qua các trung điểm của các cạnh B’C’ và C’D’ cắt đường thẳng A’B’ tại E, cắt đường thẳng A’D’ tại F. Tính thể tích của khối chóp A.A’EF. den A. S ori B. . .C.1304. D. 16. Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng đi qua đỉnh D, điểm Q thuộc cạnh AA’, điểm M thuộc cạnh CC’ sao cho 25, f=3 chia khối lập phương thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng. A. I B. 1. C. 5. . D. 1. ‘ 3 RC OC 1 17. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Xét điểm P thuộc đoạn BB’ sao cho bé, điểm Q thuộc đoạn CC’ sao cho – Thể tích của khối chóp tứ giác A.BCQP bằng A. 3. B.Ş., C.I .D. 18. Cho khối hộp (H) có thể tích V. Xét tất cả các khối tứ diện có cả 4 đỉnh là đỉnh của (H) và có ít nhất một cạnh là cạnh của (H). Chọn câu đúng: A. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng . 8 B. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng .. C. Có khối tứ diện có thể tích bằng , có khối tứ diện có thể tích bằng – D. Không có khối tứ diện nào có thể tích bằng và không có khối tứ diện E nào có thể tích bằng . • vốt kia t h ì thu to 19. Cho khối hộp (H) có thể tích V. Xét tất cả các khối tứ diện có cả 4 đỉnh là đỉnh của (H) nhưng không có cạnh nào là cạnh của (H). Chọn câu đúng: A. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng . B. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng ” C. Có khối tứ diện có thể tích bằng , có khối tứ diện có thể tích bằng D. Không có khối tứ diện nào có thể tích bằng và không có khối tứ diện nào có thể tích bằng 20. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Xét điểm P thuộc cạnh AB, điểm Q thuộc cạnh BC, điểm A thuộc cạnh BD sao cho đó tích của khối tứ diện BPQR. B…. C. D. PA . OB RB -= 4. Tính thể RD PB Ann 21. Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa đường thẳng AB, đi qua điểm C’ của cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số SC 4. ] 22. Một khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a/2. Tính thể tích của khối đó. A. av 8 8 – 8 12 23. Cho khối chóp tam giác S.ABC, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SBC là tam giác đều cạnh a, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy là a. Tính thể tích khối chóp đó. **A. 1. sin 20. B. 1 asin 20.**Lacos?.’* D. La cos2a. 16 24. Một khối lăng trụ có đáy là một tam giác đều cạnh a, có cạnh bến b, góc giữa I cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60°. Tính thể tích của khối đó. A. a?by3. B. aB 25. Các trung điểm của các cạnh của một tứ diện đều cạnh a là các đỉnh của một khối đa diện đều. Tính thể tích của khối đó. ai 12 a’ 12 ay 13 16 26. Một nhà kho có dạng khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, nền là hình chữ nhật ABCD, AB = 3 m, BC = 6 m, chiều cao AA’ = 3 m, chắp thêm một khối lăng trụ tam giác đều mà một mặt bên là A’B’C’D’ và A’B’ là một cạnh đáy của lăng trụ. Tính thể tích của nhà kho. A. 27,73 m?. B. 27(4+13) m”. C. 54 m. D. (12+13)m”. 27. Xét khối hộp ABCD.A’B’C’D’, trong đó ABCD là hình thoi có các đường chéo bằng a và 2a ; cạnh bên AA’ = 2a và tạo với mặt phẳng đáy góc bằng 30°. Tính thể tích khối hộp. . C. a3. i A. a® v3 12 . äte B. D. . . 12 . 24 2 2 <03 A D. 48 28. Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A'B'C'D', trong đó A'ABD là tứ diện đều cạnh a. – A.V-. B.V= cv-apa D.V=a’ JE. -. …..- D. V-av2 6 29. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác S.ABCD, trong đó SABC là tứ diện đều cạnh a và ABCD là hình thoi. AV -a' V2 B.V – a' V2 C.V – a' V2 12 30. Cho khối chóp đỉnh S, có thể tích bằng V, có đáy là hình vuông ABCD với tâm I. Điểm P thuộc cạnh AB, điểm Q thuộc cạnh AD (P, Q không phải là định hình vuông) sao cho PIQ là góc vuông. Tính thể tích khối chóp tứ giác S.APIQ. B: ' can D..19 31. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng V. Gọi S’ là điểm sao cho S là trung điểm của đoạn AS’ và B', C' theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của khối chóp tam giác S.ABC. A. V.. B. Z B.. Ž C… D.. 4. 32. Cho khối chóp tứ giác có đỉnh S; đáy là hình thoi ABCD với góc ở A bằng 60°, | cạnh bằng a; hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là tâm (đối xứng) I của hình 03. thoi. Khối chóp có thể tích V =« «. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). mi A. 9 in B. ayb in c.q d. avoin 4. 3 33. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD, AB = a, có thể tích bằng “4. Tính 1 khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). A. 242. B. ay2 c.ay2 D. 34. Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi E là điểm thuộc đường | thắng AA' sao cho A’ là trung điểm của SA. Mặt phẳng (P) qua các điểm S, B, D’ cắt đường thẳng AB ở E, cắt đường thẳng AD ở F. Tính thể tích V của khối chóp S.AEF. 3 2 403 A. V=2 .VE B.V=4.5 B. V== C.V =a?' $ D. V=4" D. V= . . 35. Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm thuộc đường 4’ sao cho A’ là trung điểm của SA. Mặt phẳng (P) qua các điểm S, B, D cắt đường thẳng AB ở E, cắt đường thẳng AD ở F. . Tính thể tích phân khối lập phương nằm trong khối chóp S.AEF. B. 2a 503 – ca D. Ja 36. Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' sao cho A’ là trung điểm của SA. Mặt phẳng (P) qua các điểm S, B, D’ cắt đường thẳng AB ở E, cắt đường thẳng AD ở F. Tính thể tích phân khối chóp | S.AEF không nằm trong khối lập phương. : B. is c. D. Ba? 37. Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi E là điểm thuộc đường thắng A4’sao cho A’ là trung điểm của SA. Tính thể tích phân khối chóp 3 D. Ba? 24 A.C B. Ta c. 38. Xét khối chóp tam giác đều S.ABC có thể tích V = 24 /3, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 30°. Tính chiều cao h của khối chóp. *A. h=2. B. h= 73. C. h=1. Dih= 3. 39. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. . 12 A.V-2VZ B.V-d'V2'n c.v-ay D.V=4V? 40. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà SAC là tam giác đều 4.v-B.v-.. cvdro D.v. cạnh a. 41. Xét khối chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, chiều cao của khối chóp bằng chiều cao của tam giác đáy. Tính thể tích V của khối chóp. A. V – a' 13. B. V-a 13 : cv-a' A. V = 12. B.V = 8 : D.V= C. V = g. 42. Xét khối chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân có AB = AC, cạnh bên SA = 3a tạo với mặt phẳng đáy góc 30°. Biết thể tích khối chóp bằng a, tính độ dài cạnh AB. A. avz. B. a. C. 2a. D. a 3. 43. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích y = 41. Tìm số dương r sao cho có điểm J nằm bên trong khối chóp mà 1 khoảng cách từ 3 đến các mặt bên và đến mặt đáy đều bằng r. A. r=ay3. B. r=ap 3. C. r=a03 D. r=a3 3 44. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích của phần chứa đáy của khối chóp. A. -v. C. -V. D. -v. V 27 45. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Gọi G, H, K là trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp. Tính thể tích khối chóp S.GHK. B. ! 46. Cho hình chóp tứ giác đỉnh S có thể tích V, đáy là hình bình hành ABCD. Lấy điểm So sao cho SS' = 2AB. Tính thể tích của U19 khối đa diện gồm các điểm chung của A —- khối chóp đó và khối chóp tứ giác \ S'.ABCD. 1.1. B. 4V *C. 5V 3 3 47. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Gọi S là điểm xác định bởi | SS' =2AB. Tính thể tích phân khối chóp S.ABC nằm trong khối chóp S.ABC. A. B. D.. 48. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Gọi là điểm xác định bởi SS' = 2AB. Tính thể tích khối đa diện lồi có các định là S, S, A, B, C. A. 2V. B. 3V. c.*. D. 49. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD, SA vuông góc với mặt phẳng đáy; ABCD là | hình thoi cạnh bằng a, góc tại đỉnh A bằng 60°. Khối chóp có thể tích V =4. Gọi E là điểm xác định bởi AE = 2ÁC. Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBD). A ako B. ado . c. 3ad6 D. aso. 50. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và ABCD là | hình thoi cạnh bằng a, góc tại đỉnh A bằng 60°. Khối chóp có thể tích V = 3. Gọi E là điểm xác định bởi AE = 2ÁC. Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBC). 4 2 … a 3. B. ak c. al D.a. Đáp án 1. Coi tứ diện đã cho là hình chóp ABCD thì nó là hình chóp tam giác đều, tam giác BCD là tam giác đều. Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến mặt (BCD) thành chính nó thì (P) phải là mặt phẳng trung trực của BC, CD hoặc DB. Khi các cạnh bên của hình chóp không bằng cạnh đáy (tứ diện đó không phải là tứ diện đều) thì không có phép đối xứng nào biến (BCD) thành một trong các mặt khác của tứ diện nên có đúng 3 mặt phẳng đối xứng vừa kể. Nếu tứ diện đều thì với mỗi mặt bên của hình chóp, chẳng hạn (ABC), phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực của đoạn AD biến mặt (BCD) thành mặt (BCA); vậy có thêm 3 mặt phẳng đối xứng nữa; do đó tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng (là 6 mặt phẳng trung trực của 6 cạnh của tứ diện). Chọn đáp án C. (Không thể lí luận với mỗi mặt của tứ diện đều (như mặt (BCD) có 3 mặt phẳng đối xứng nên do tứ diện có 4 mặt mà nói tứ diện đều có 12 mặt phăng đối xứng). 3. Đáy ABCD là hình thoi có AB = a, BD = a, AC = a/3. Hộp đựng ABCD.A'B'C'D' có DB' = AC nên BB' = a/2. 4. Để ý rằng tam giác đáy là một tam giác vuông. 9. Vì P nằm trên đường thẳng AA' song song với mặt phẳng (BCC'B') nên thể tích khối chóp P.BCC'B' bằng thể tích khối A.BCC'B'. Chỉ cần nối BC? chia ABC.A'B'C' thành ba khối chóp tam giác có thể tích bằng nhau mà hợp hai khối là A.BCC'B'. 10. Để ý rằng PQ đi qua tâm của hình bình hành ABB'A'nên diện tích hình thang APQB bằng nửa diện tích hình bình hành đó. Gọi h là khoảng cách từ đường thẳng CC' đến mặt phẳng ABB'A' thì 2y = 1.SABB'A', thể tích khối chóp tứ giác đang xét bằng ch.SABB4. 11. Để ý mặt phẳng đáy của khối chóp song song với mặt phẳng (ABCD). 18. Xét khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Giả sử tứ diện (T) có một cạnh là AB mà không có mặt nào của (T) nằm trong một mặt của hình hộp thì hai đỉnh còn lại của (T) phải là C, D, nhưng A, B, C, D'đồng phẳng, mâu thuẫn với (T) là tứ diện. Nếu (T) có mặt ABC nằm trong mặt ABCD của hình hộp thì đỉnh thứ tư của (T) phải nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D) song song với mặt phẳng (ABCD) và suy ra thể tích của (T) bằng 2. 19. Nếu (T) có một đỉnh là A thì (T) phải là tứ diện AB'CD'. (T) có được từ (H) bằng cách bỏ đi 4 khối chóp tam giác con, mỗi khối chóp này có một đỉnh là A, B, C hoặc D, mặt đáy của nó là một mặt của (T), và dễ thấy thể tích của mỗi khối chóp tam giác con này bằng . V . Vậy thể tích của (7) là y'=y-4 Ta chọn đáp án A. 6. 3 25. Để ý rằng khối đa diện đều đó là một khối tám mặt đều cạnh bằng 4. 30. Diện tích tứ giác APIQ bằng diện tích hình vuông. 32. Khoảng cách cần tính bằng 2 lần chiều cao kẻ từ I của tam giác vuông SIJ, trong đó J là hình chiếu của I trên cạnh AB. 33. Khoảng cách cần tính bằng 2 lần chiều cao kẻ từ I của tam giác vuông SIJ, trong đó I là tâm hình vuông ABCD, J là trung điểm cạnh AB. Ngoài ra còn có thể trả lời nhờ dùng phương pháp tọa độ. 35. Phần khối lập phương ở ngoài khối chóp S.AEF là khối chóp C.B'C'D'. 43. I là tâm của hình vuông ABCD, H là trung điểm một cạnh của đáy thì SIH là | tam giác vuông có một góc bằng 60°. 46. Mặt phẳng (S’AD) cắt SB tại B, cắt SC tại C, B'C' song song với BC, tỉ số thể tích khối chóp S.ADC'B' và thể tích khối chóp S.ADCB có thể tính được theo tỉ số 2 (nhờ công thức so sánh thể tích hai khối chóp tam giác cùng chung đỉnh và chung các đường thẳng chứa các cạnh bên). SB Đáp án ba! Dap ар Câu ÁP Câu au Đáp Câu Đáp Câu Đáp Câu а . ÁP . m . án án 1 | C | 11 | D | 21 | C 31 | B 41 2 | C | 12 | A | 22 | C | 32 | D T 42 3 D 13 D 23 A 33 A 43 4 TD14B24C 34 | D | 44 | B 5 B 15 1D 25 LC 35A 45 6 B 16 D 26 B 36B 46 B 7 B 17D 27 C 37 B 47 B 18 B 28 38 A 48 B 9 C 19 A 29 C 39B | 49 C | 10 | B 20 A 30LC | 40 | A 50 C |