Đáp án
Nguồn website dethi123.com
. KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT I.1. Kiến thức
Cần hiểu và nhớ các khái niệm, kết quả sau: – Số phức, đơn vị ảo i, phần thực và phần ảo của số phức, số ảo (số thuần áo). – Tập số thực IR là một tập con của tập số phức C. – Hai số phức bằng nhau (Chú ý: không có so sánh hơn kém giữa hai số phức). – Biểu diễn hình học các số phức; môđun, số phức liên hợp của một số phức. – Các phép toán với số phức. .
– Căn bậc hai phức của một số thực. 1.2. Kĩ năng 1. Xác định phần thực, phần ảo của một số phức. Biểu diễn hình học một số phức đã cho.
Ví dụ 1. (Câu 11, mã đề 103, đề thi THPTQG 2018). Số phức 5 + 6i có phần thực bằng A. -5. : *! . B. 5. C. 6. D.-6.
. Hướng dẫn giải: Đây là một câu hỏi đơn giản ở mức nhận biết, nhớ định nghĩa số phức, phần thực và phần ảo của số phức. Có thể thấy ngay cần chọn đáp án B.
Ví dụ 2. Biết rằng đường thẳng d:3x+4)-36 =0 tiếp xúc với đường tròn (C):(x-1)+(-2)’ = 25 tại điểm A và số phức z có điểm biểu diễn là A. Xét các khẳng định sau: 1. Phần thực của z là 4;
2. Phần ảo của z là 4; 3.z là số thuần áo;
4. Môđun của z là 5. Trong các khẳng định trên, số khẳng định đúng là. . A. 0.
B. 1. C. 2. D. 4.
Ax=13t Tiếp điểm A
+ Hướng dẫn giải: Đường tròn (C) có tâm là I(1;2) và bán kính R=5. Tiếp điểm A chính là hình chiếu vuông góc của 1 xuống đường thẳng d đã cho. Vectơ pháp tuyến của d là n(3; 4) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng qua I vuông góc với d. Đường vuông góc này có phương trình tham số {“.
ly=2+4t là giao điểm của d với đường vuông góc trên. Thế phương trình tham số trên vào phương trình đường thẳng d ta được 3(1+3t)+4(2+4)-36 =0et=1. Suy ra A có tọa độ (x=1+3.1 = 4; y = 2+4.1=6), do đó z=4+6i . Như vậy z không phải là số thuần áo, có phần thực là 4, phần ảo là 6 và môđun là 452, số khẳng định đúng là 1. Chọn B. 2. Tìm số phức liên hợp của một số phức đã cho; thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa với số mũ tự nhiên trên tập số phức.
Ví dụ 3. Phần thực a và phần ảo b của số phức z thỏa mãn (2-1)2 = 3+4i là
C. a= 2, b = 11. 3. D.a=ž, b= Hướng dẫn giải: Nhân hai vế phương trình với 2-i=2+i, ta được
(2+i)(2-i)z = (2+i)(3+4i) hay 5z = 2+1li. Từ đó 2-3 . Số phức z có phần thực là 3, phần ảo là 1. Chọn B. Ví dụ 4. Cho hai số phức z =3-, = 2 +3i. Tìm phần thực của số
”
5
5
phức liên hợp của y= z z + zz, +ZZ,.
.
.
.. A. 632.
B.7. C. 6. D./2. | Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra 1 = 3+ /24, , = V2 – 3i. Áp dụng quy tắc nhân và cộng các số phức, ta được 12 =(3,5 -342)+(-9-2) = -1li; .
, = 3/2 -342)+(9 + 2) =lli và 4, =(3/2 +3/2)+(9–2 i=6/2 +7i. Từ đó v=6/2 +7i nên v có phần thực là 6/5. Chọn A.
3. Tìm các căn bậc hai của một số thực.
Ví dụ 5. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? Trong tập số phức C, A. căn bậc hai của -5 là i5. .. . B. căn bậc hai của–t là Jim. C. căn bậc hai của 5 là f/5.
D. căn bậc hai của – là i. Hướng dẫn giải: Học sinh cần nhớ là trong tập số phức, mỗi số thực đều có hai căn bậc hai đối nhau và tập số thực là tập con của tập số phức. Vì vậy A, B, D sai. Khẳng định C đúng vì trong tập số phức các căn bậc hai của 5 là f/5 +0i. 4. Phối hợp các kĩ năng giải toán số phức
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2+(2+i)2=(3–21)2+i.Tìm tọa độ của điểm biểu diễn của số phức liên hợp với z.
i
AM(*_). BMC 1:3). C.M(**). D.M(*_3)
Hướng dẫn giải: Đặt z=x+ yi(x, ye IR). Điều kiện đã cho trở thành 2+(2+i)(x+ yi)= (3–2i)(x- yi)+i,
hay (2+2x– y)+(2y+x)i=(3x-2y)+(-2x – 3y+1)i.
Tito 12+2x – y = 3x – 2y Từ đó ta có 3
12y+x = -2x – 3y +1 +
(x-y= 2 3x + 5y =1
1
11
5
–
11 5
là M1 –
. Chọn B.
8
8
188
C
a
Vậy z =
+ 1. Điểm biểu diễn z Chú ý: Nếu không đọc kĩ đề bài, học sinh có thể chọn đáp án đúng là A (điểm biểu diễn của z).
Ví dụ 7. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện 2 + 2 = 2 và 2| = 2? A. 1. B.2.: C. 3. 3 D. 4..
Hướng dẫn giải: Với z = x + yi (x, ye R) thì | | = 2 có nghĩa là x + y = 4 Từ đó, zz + z = 2 có nghĩa là x + y +x+ y = 4+x+ vi = 2, tức là (4+ x)^ + y = 4, suy ra 8x + 16 = 0. Vậyx=-2,y= 0. Chọn A.
Ví dụ 8. Gọi ý là góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM, trong đó M là điểm biểu diễn số phức z=(2−1)(1+i). Tính sin 2ọ. A. 0,8. . B. 0,6.
C. -0,8. ED.-0,6. – Hướng dẫn giải: Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân số phức, ta có
z=(2-1)(1+i)= (2+1)+(2-1)i= 3+i. Số phức z có điểm biểu diễn M(3;1) nên tan po, do đó
i=3+1.
.
.
!
2 tano sin 20=
=
1+tan? o1 – 10 =0,6.
1+
10
Vậy đáp án đúng là B.
Ví dụ 9. (Câu 34, mã đề 120, đề thi THPTQG 2017). Cho số phức z thỏa mãn các điều kiện z =5 và z +3 = z +3–10i . Tìm số phức w=z-4+ 3i.
A. w=1+3i. B. w=-1+7i. C. w=-4+8i. D. W=-3+Si.
Hướng dẫn giải: Khi biểu diễn hình học số phức thì z-z, là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn các số phức z ,z,, vì thế các điều kiện đã cho có nghĩa là z có điểm biểu diễn là giao điểm của đường tròn và đường trung trực của một đoạn thẳng. Để tính toán đơn giản ta đặt z’=z+3 thì các điều kiện đã cho là |z’-3 =5, z =|z-10i, điểm biểu diễn số phức z’ là giao điểm của đường tròn (C) tâm I(3; 0) bán kính 5 và đường trung trực A của đoạn thẳng OA (O là gốc tọa độ, A(0; 10) là điểm biểu diễn số phức 10i). Vẽ hình thấy ngay A vuông góc với trục tung tại điểm (0; 5) và tiếp xúc với (C) tại điểm (3; 5). Do đó z’=3+5i = z = 5i w=5i-+3i =–4+8i. Chọn C.
II. C U HỎI TRẮC NGHIỆM 1. (Câu 3, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017). Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A.Z=-2+3i. B. z = 3i. C.z=-2. – D.z= v3+i. 2. Tìm tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa mãn điều kiện 3x+ yi =2y+1+(2-x).
A. (1:1). B. (1;1),(0;-1). C. (1; 0),(-1;-1). D. (-1;-1).
A. RCC.
.
Z
3. (Câu 8, mã đề 102, đề thi THPTQG 2017). Cho hai số phức z =4–3i và
z, =7+3i. Tìm số phức z =z-Z,.
A. z =11. B. z = 3 +6i. C. z =-1-10i. D. z=-3-6i. 4. Kí hiệu IR là tập số thực, C là tập số phức. Tìm khẳng định sai.
B. z=21-73i không phải là số thực. – C. z=-1 không phải là số phức. D. =z, Vz EC. 5. Kí hiệu M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z.
Khẳng định nào đúng? A. M ,M’đối xứng nhau qua trục tung.
B. M , M’đối xứng nhau qua trục hoành. – C. M , M’đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
. • D. M ,M’đối xứng nhau qua đường thẳng y=-x.. 6. (Câu 38, mã đề 103, đề thi THPTQG 2017). Cho số phức z thỏa mãn
z +3=5 và 2-2i|=|z-2-2i. Tính =.
A. (21=17. B. 1z1 = V17. C. 121= v10. D. z=10. 7. Tìm khẳng định sai. A. Với mọi số phức z, zl là một số thực. .
. . B. Với mọi số phức z, z là một số phức. . . . . . . . C. Với mọi số phức z, 2 là một số thực dương.
D. Với mọi số phức z, z là một số thực không âm. 8. (Câu 5, mã đề 110, đề thi THPTQG 2017). Số phức
nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ M là điểm M như hình bên? A. z, = 1 – 2i.
B. zz = 1+2i. nl C. zz = -2+i. . D. ZA = 2+i. 9. (Câu 16, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Cho hai số phức z =1–2i và
Z, = 2+i. Số phức z + z, bằng A. 3+ i.
B. —3 – i. para malaman n g puso C. 3- i.
D. -3 +i. 10. Tìm điều kiện để số phức z có điểm biểu diễn thuộc 2
phần gạch chéo (kể cả bờ) trong hình vẽ bên. A. z có phần ảo nhỏ hơn 2. B. 2 có phần ảo thuộc đoạn [-1;2]. T-0ị mil
C. z có phần thực thuộc đoạn [-1;2].
D. z có môđun thuộc 11. Tìm điều kiện để số phức z có điểm biểu diễn thuộc
phần gạch chéo (kể cả bờ) trong hình vẽ bên. A. 2 có phần ảo thuộc đoạn [-1;1]. B. z có môđun bé hơn 1. C. z có phần thực thuộc đoạn [-1;1] và môđun không lớn hơn 2.
D. z có môđun lớn hơn 1. ” 12. (Câu 21, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Trên mặt phẳng tọa độ, biết | M(-2;1) là điểm biểu diễn của số phức z. Phần thực của z bằng A. -2. LI B . 2.
C. 1.
D.-1.. 13. (Câu 47, mã đề 112, đề thi THPTQG 2017). Gọi S là tập hợp tất cả các giá
trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z=1 và 2-3 ti=m. Tìm số phần tử của S. A. 4. : B. 1.
C. 2.
D.3. A . 14. Tìm số phức liên hợp của 3=(3+ 2i)[(2-1)+(3–21)].
A. Z = 21+i. B. Z = 21-i. c. z =1+21i. D. Ž=-21+i. 15. (Câu 33, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Gọi zo là nghiệm phức có phần
ảo dương của phương trình ? +4x +13 =0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức 1-2% là
A. P(-1;–3). B. M(-1;3). + C. N(3;—3). D. Q(3;3). 16. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn các điều kiện 2.2-2 = 2, z = 2? A. 1. B.2. C. 3.
D. 4. 17. Tính phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện z=(2/3 + (1-2).
A. 413–1172. B. 11/2+4/3. C.2. D. 1172 – 413. 18. Tìm phần thực của số phức z = 2-431 (1+231)-(2+51) 3 – 4i.
A. 17. B. -10+17. C. 277. D. 10+17.
19. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy M là điểm biểu diễn số phức z = -1 + 2i và gọi p là góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM. Tính tan 2ọ.
B. 3 i 4
D. -1.
20. Cho số phức v=a+bị. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu
diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z-v=1. A. Đường thẳng (x-a)+(y-b)=1. B. Đường thẳng y =b.
C. Đường tròn (x-a)? +(y-b) =1. D. Đường thẳng x=a. 21. (Câu 12, mã đề 106, đề thi THPTQG 2017). Kí hiệu Z1, Z2 là hai nghiệm
phức của phương trình zo+ 4 = 0. Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của Z1, Z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ.
A. T = 272. B.T=8. . C. T = 2. D.T= 4. 22. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện 2z -1-2i| = 3i+1-27. A. Đường thẳng 2x+147-5 =0. B. Đường thẳng 6x+1=0.
C. Đường thẳng 3x+4y+5=0. D. Đường thẳng 3x-4y-5=0. 23. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện: số phức v =(x-1)(2+i) là một số thuần áo.
A. Đường tròn x +y^ = 2. B. Đường thẳng x+2y-2 =0. , C. Đường thẳng 2x-y+1=0. D. Đường parabol 2x = y. * *
14+ 2i 24. Tìm giá trị nhỏ nhất của z|, biết rằng z thỏa mãn điều kiện **4 A. sz. B. √3. c. o.
D.-1.
– Z-1 = 1
1-2-3i
.
.
a
ܕܝܢ܇
.
.
25. Tìm giá trị lớn nhất của z|, biết rằng z thỏa mãn điều kiện
3-2i 2+1
z+1 . A. 1. B. 2. ** C. V2.. D. 3. 26. Tìm các số phức z thỏa mãn điều kiện để tiet –1+2i.
A. z=1-v3i. B. z =1. = 4.1-C. z=l+V3i. D. z =i.
Z-4
27. (Câu 27, mã đề 102, đề thi THPTQG 2017). Cho số phức z=1=i+i . Tìm
phần thực a và phần ảo b của z. A. a= 0,b=1.
B. a=-2, b = 1. C. a = 1, b = 0.
D. a = 1, b=-2. . 28. Cho z là số phức thỏa mãn (1-1)(z + i)=2=+37. Gọi M là điểm biểu
diễn số phức y=” +1 và N là điểm trong mặt phẳng tọa độ sao cho (Ox, ON)= 2ọ, ON = OM , trong đó p=(Ox,OM) là góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM. Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư (I).
B. Góc phần tư (II). C. Góc phần tư (III).
D. Góc phần tư (IV). 29. (Câu 46, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017). Có bao nhiêu số phức z thỏa 4 mãn z-3i|=5 và 4 là số thuần áo? . . . C . 2. A. 0. | B. Vô số. C. 1.
D. 2. 30. Tính tổng các bình phương môđun các nghiệm của phương trình sau:
(x2 – 3)(2x* + 3×2 +1) =0. A. 9. B. 10. C. 11.
D. 12. 31. Tính tổng các nghịch đảo các nghiệm của phương trình 6x +19x +15 = 0.
A. ++i. B. 272. a C.O. D. -2. a . 32. (Câu 37, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Cho hai số phức z =42i và
w=1+i. Môđun của số phức z.w bằng . A. 212. B. 8.
c. 2.110.**** D 407 33. (Câu 27, mã đề 106, đề thi THPTQG 2018). Xét các số phức z thỏa mãn
(z – 2)(x + 2) là số thuần áo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm | biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 4. B. 2.
C. 272. D.2. 34. (Câu 23, mã đề 123, đề thi THPTQG 2018). Tìm hai số thực x, y thỏa mãn
(2x-3yi)+(1-3i)=x+6i, trong đó i là đơn vị ảo. . A. x=-1, y=-1.
B. x = 1, y=-1. C. x = 1, y=-3. Ebt D. x=-1, y=-3.4 watesa
.
35. (Câu 36, mã đề 119, đề thi THPTQG 2018). Có bao nhiêu số phức z thỏa
mãn (z|(2-6-i)+2i =(7-i)z? A. 2. B. 3.
C. 4. C. 4.
D.1. 36. (Câu 48, mã đề 03, đề minh họa lần 3 năm 2017, Bộ GD-ĐT). Xét các số
phức z thỏa mãn z +2- + z -4-75 = 6/2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 2-1+i. Tổng m+ M bằng A. V13+J73. B. 572+2773
B…C. 572+173. D. 572+173
2 37. (Câu 39, mã đề 03, đề minh họa lần 3 năm 2017, Bộ GD-ĐT). Có bao nhiêu
số phức z thỏa mãn đồng thời z-id=5 và zo là số thuần áo? A. 2. B. 3.
C. 4.
D.O. 38. (Câu 34, đề minh họa lần 2 năm 2017, Bộ GDĐT). Xét số phức z thỏa mãn . điều kiện (1+ 2i |=”12+i. Khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. <1=12.
c.lzlzs D.Elzz
W
=
1+ z
*
ĐÁp án
2. 5.
6.
Nhớ lại các định nghĩa phần thực, phần ảo, số thuần áo, ta thấy ngay A, C, D sai; B đúng. Giải hệ gồm hai phương trình 3x=2y+1, y=2-x. z,z’ có cùng phần thực và có phần ảo là hai số đối nhau nên M, M’ có cùng hoành độ và tung độ đối nhau. Do đó M, M’ đối xứng nhau qua trục hoành. Giả sử z=a+b), (a,be IR). \z +3] =5 Va+3)2 +b? = 5 (*).. |z – 2i= |2–2–2ile ’ +(6–2)? = V(a-2) +(6–2).
a =(a -2) a=1. (*) = b = 25-(a+3) =9. Vậy z = a + = 10. Đáp án đúng là C.
7. C sai (vì lo =0 không lớn hơn 0). 8. Điểm M đã cho có hoành độ –2, tung độ 1 nên M biểu diễn số phức có phần
thực bằng-2, phần ảo bằng 1. Vì vậy C là đáp án đúng. 13. Giả sử z =a+bi,(a,b + R).
z.z=16zł =1 e a’ +62 = 1; |z-13+il = m = (a-v3)° +(6+1)* = m2, (m20). Như vậy, điểm biểu diễn số phức z là điểm chung của hai đường tròn (C): x + y =1 và (C): (x-3) +(y+1) = mỏ. Để tồn tại duy nhất ở thì hai đường tròn này phải tiếp xúc trong hoặc ngoài) với nhau. Chú ý rằng (C) có tâm O(0;0) bán kính 1; (C) có tâm O'(3;-1) bán kính m; khoảng cách 00′ = 2 nên yêu cầu có duy nhất số phức z chỉ xảy ra trong hai trường hợp:
1+ m =2 hoặc m – 1 =2 tức là m = 1 hoặc m = 3 (do m 20). Đáp án C đúng. 16. Chú ý rằng zzz=2(2-1) nên điều kiện
|z.z-z = 2 => 2||2–11=243–1 =1. 19. M(-1;2) nên tan p =-=-2. Áp dụng công thức tan 2ọ = 21. z2 +4 = 0 ©z=-4 ©z=+2i.
Phương trình có hai nghiệm phức z =-2i;z, = 2i. Hai nghiệm này được biểu diễn bởi hai điểm M(0; -2) và N(0; 2), có OM = ON = 2. Do đó OM + ON=4. Đáp án đúng là D.
4+2i 24. Cách chính tắc: Có ^^4 =1+3i. Đặt z=x+ yi thì
4+212–1= (1+3i)(x+yi) –1=(x-3y–1)+(3x+y)i.
1-1 Điều kiện trong đề bài được viết lại thành
(x-3y –1) + (3x + y)? =14(x-3y)? – 2(x-3y)+1+(3x + y)2 =1
2 tano
1-tan’ o
1-i
4+2i
** 10x + 1093 –2x+6y=02(x+x)+(****)=0
+
=
y + –
10)
Z=-+-i,v=
—
-k
i, do
Điểm biểu diễn M (x; y) của z chạy trên đường tròn (*). Cần tìm M thuộc đường tròn này để OM nhỏ nhất. Dễ thấy đường tròn này qua O nên min(OM)=0. Do đó min = =0.
14+2i Cách nhanh nhất: Vì z=0 thỏa mãn phương trình ” – z-1 =1 nên
| 1-i min(21=0. 27. Ta có i =-14 =-
i z=1=i+i =1-2i. Do đó z có phần thực a=1 | và phần ảo b=-2. Vậy D là đáp án đúng. _36 _11 56. ht w(11. 56) thone 56.11_ 56
ÓMI
. Từ đó tan p === 5 5 15 45
45 15 Áp dụng các công thức lượng giác sin 2% = 2tano , cos 2o=l-tan” và
– 1+ tano p hép 1+ tan và chú ý rằng tanp<-1, ta dễ suy ra được sin 2p<0, cos2pw-4 = 12.w-ile/x-4)2 + y2 = 72./x2+(y-1)?
w-4
-W+i
ox? + y2 +8x-4y-14=1 + (x+4)? +(y-2)2 = 34. Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 34. Chọn đáp án A.
Đáp án
Câu
|
|
Câu
| Đáp án
Đáp án
B
Câu 14
Đáp án
B
27
15 16 17
1. D ТС
A
28 29 30 31
18 19
32
—
20
–
–
–
33 34 35 36 37
21 22 23 24 25 26
10
.
11
–
–
12
38
13
39.