Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp Trung học phổ thông quốc gia năm học 2022 môn Toán-Phần một. Ôn tập theo chủ đề-Chủ đề 6. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Đáp án

Nguồn website dethi123.com

I.1. Kiến thức 1. Lũy thừa – Lũy thừa với số mũ nguyên: Cho n là một số nguyên dương, a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a: a” = a.a…a. Với a = 0: ao =1; O – Cho số thực b và số nguyên dương n (n> 2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a” = b. Khi n lẻ, chỉ có một căn bậc n của b IR, kí hiệu là kb. Khi n chẵn, chỉ xét với b0; với b > 0 có đúng hai căn bậc n trái dấu của b, căn có giá trị dương được kí hiệu là k/b. – Các tính chất của căn bậc n (giả sử các căn sau có nghĩa): a.R/b = ab ; . NOVO. (6+0); (va)” = Wa”; var” = fa, khi n lė. m la, khi n chắn a = n/a. m 1 m – Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a” = Ka” với a>0, m GZ, neN, n22. – Tính chất của lũy thừa với số mũ thực: Với a, b là những số thực dương; a,B là những số thực tùy ý: a“.al = qa+p; a = q^-P; (a“)= qab; (ab)* = d®.bM; Nếu a >1 thì ao xao e a > B. Nếu 0<a ao e a 0, a + IR. ” – Đạo hàm của hàm hợp: (MỸ)’= aud-u. 3. Lôgarit Với a, b và c là những số thực dương; a + 1. Ta có: Định nghĩa, tính chất | Công thức tính lôgarit Công thức đổi cơ số | (b +1) log, bra ao = b loga (b.c)= log, b+log, c log, c = logac log, b W… log, 1 = 0; log, a=1 log. = log, b-log, c log, b= log, a glob, b = b; log, (a“)= a log, (64)= a log, b l og,ab=-log, b – Lôgarit thập phân: là lôgarit cơ số 10, kí hiệu logb hay lgb. – Lôgarit tự nhiên là lôgarit co số e (e – 2,718), kí hiệu là 1nb. log, 376 = log. 6 log, b=-log, b 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit • Hàm số mũ: y= a với a> 0 và a+1. Tập xác định IR. Tập giá trị R, tập các số thực dương. Hàm số đồng biến trên IR khi a > 1, nghịch biến trên IR khi 0 < a 0, a+ 1. Tập xác định R. Tập giá trị IR. | Hàm số đồng biến trên R khi a> 1, nghịch biến trên R khi 0<a 0 và a+ 1): a) Nếu a> 1 thì ao < ao e a < B. b) Nếu 0<a< 1 thì ao B. c) Cho 0<a bo khi a 1 thì logo b> logo ce b> 0. . e) Nếu 0<a loga c = 0 < b 1 thì loga b> 0 + b > 1. g) Nếu 0 <a0 6 0 < b 0. • Đạo hàm và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit | Hàm sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) | (e*)’ = et (e” )’ = e“u’ (a*)’ = a* In a (a”)’ = a“. In au’ eur — (In[x]) == (Insul)’ = “” (log,lul) = _ u’ (loga (xl)’= 1 x In a u In a y = a* (a > 1) bl y=b y = b y = ax (0<a 1) . . y = log qx (0 < a < 1) 5. Phương trình và bất phương trình mũ a) a"(t) = q$(*) (0<a # 1) f(x)=g(x). qf(x) = b (00) = f(x) = logob b) aw) 1) hoặc as g(x) (nếu 0<a< 1). c) ao <be f(x)1,b>0) hoặc a^) log, b (nếu 0<a0). 6. Phương trình và bất phương trình lôgarit 10<a #1 a) log, f (x)= b V=6\f(x)=d". …10{$(x)>0 f (x)= g(x). [/a>1 110<f(x)<g(x) c) loga f (x)< log, g(x) fo<ag(x)>0. OVO [/a>1 . 1 $(x) > ab [/a>1 10<f(x)<a d) log, f (x)<be elro<aa. e) log, f (x)>be ro<a<1 Llo< f (x)<a'. I.2. Kĩ năng • Biết tìm tập xác định của các hàm số liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, biết rút gọn các biểu thức có chứa lũy thừa và lôgarit. • Biết tìm đạo hàm, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số lũy thừa, mũ, | lôgarit; biết vẽ, nhận biết dáng điệu đồ thị, đường tiệm cận của chúng. • Biết sử dụng các tính chất về các hàm số mũ, lôgarit để giải phương trình. • Biết sử dụng các tính chất về bất đẳng thức của hàm số mũ, hàm số lôgarit để giải các bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit. —– – — I. C U HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Cho các số dương a, b, x. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. (**)* = xo. B. (**) * = ***, C. (**)* = tab. D. (**)* = xő. Qo Fath 2. Rút gọn biểu thức P =. (Va?b3)* VVabl2" 2 với a 0, ta được 3. 1-1 lyt Q=(58–59-276**)”… A. Q=x’. B. Q=1. A. P=ab. B. P=-ab.: C. P = |a|b. D. P=-\alb. Cho hai số thực dương x và y. Rút gọn biểu thức Si ini C. Q=-** ‘D. Q=Vx. o_až.8/6 + bŻ.ita Với a,b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P =. Va+/ A. P=Tab. B. P=9ab. C. P=Ta + . D. P=a DETT 4. 5. -3 , ta được (q2v2 – 1)(a3V2 – q2v2 + av7) Rút gọn biểu thức P = 2 với a là số dương. atrz tarz A. P=av? B. P= q2– 1. C. P=av2 +1. D. P=QV – 1. 2:42+(3^)(!) . 6. Rút gọn biểu thức Q= 5*25° +(0,7) () A.= B. 9= C.Q=32 D. 9=13 (Câu 6, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018). Với a là số thực dương tùy ý, In(5a) – In(3a) bằng A. In (sa) B. In (2a). A. In (3a) C. In 8. Rút gọn: P=log,16.log, 27.log, 32.log, .. . . A. P=40. B. P=20. C. P=-20. D. P=-40. 9. Rút gọn: Q=log bo +2log bo +3log bo – 4log bo.. A. Q=4 log, b. B. Q=12 log, b. C. Q=10 log, b. D. Q=-2 log, b. D. In 5 In 3 10. Tiah loe. (of 10. Tính log. ) . 11. Cho a= log, 5. Tính log, 1250 theo a. 1+ 4a A. 2(1+4a). B. -*74. 1-4a D. 2(1-4a). 2 2 12. Cho a = In 2. Ha theo a. 16 In —In- 8 13. (Câu 28, mã đề 103, đề thi THPTQG 2017). Cho log, a=2 và log, b =. Tính I= 2log, [log,(3a)]+ log, bỏ. A. I E B. 1 =4. C. 1=0. D. 1 =ŽE 14. Cho a=log, 5, b= log, 3. Tính giá trị của biểu thức P = log, 675 theo a và b. 2a 2a 2a A. P= = +3. B. P= P= – +3. D. P-= +1. b b 15. (Câu 47, mã đề 101, đề thi THPTQG 2017). Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log, A = 3xy+x+2y-4. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P=x+ . 9/11-19 BB B. Proin = 9/11+19 9 .. D. Pun – 2017-3 16. Tập xác định của hàm số y=(4x – 9) là A. Pmin = min 9 C. Paix = 18V11–29 min min 21 . : 01–|-+o).. DC)(o). L 17. Hàm số y=24 có đạo hàm là A. 272-4%. In 2. B. (2x – 4).2×2-4%. In 2.. C. (2x-4).272-4% D. (x2 – 4x).272-43. In 2. 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên toàn tập xác định của nó? A. y = 2*. B. y=(17 – v2). C. y=(V3+v2)”. D. y=(V3 – v2)”. y=b ly=ce 19. (Câu 19, đề minh họa lần 2 năm 2017, Bộ GD-ĐT). Cho ba số thực dương a, b, c .. khác 1. Đồ thị các hàm số y = a*, y=b, y= c… được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a<b<c. B. a<c<b. C. b<c(). B. 368 <zava. C.768 3). 22. Tập xác định của hàm số y = log, (-2x + 6x) là A. (-000) (3;+00). B. [0;3]. C. (-00;0]4[3; +00). D. (0:3). 23. Hàm số y=log (x+3) nghịch biến trên khoảng nào? A. (-00; +00). B. (-3; +00). C. (-003–3). D. (-3; +00). 24. (Câu 20, đề minh họa lần 1 năm 2017, Bộ GD-ĐT). Cho hai số thực a và b, với 1<a<b. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. log, b<l<log, a. B. 1<log, b<log, a. C. log, a< log, b<1. D. log, a<lb>1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pn của biểu thức P= log(a?) +3log, (a). A. Proin = 19. B. Prin = 13. C. Proin = 14. D. Proin = 15. 30. Nghiệm của phương trình 3x-1 +2.3*–1=0 là A. x=1. B. x=0. C. x =2. D. x=-1. 2+1 5 X 2x+2 31. Tìm nghiệm của phương trình A. X=1; x = -5. C. x=-1. B. x=-1; x = 5. D. x=-5. 32. Tìm nghiệm của phương trình (+3+5)* (13-15) = 6.2 A. x = 1;x=-1. C. x=-1; x = 0. B. x = 1; x = 0. D. x = 2; x = -2. B. D. / * = log: 5 log, 5. 33. Tìm nghiệm của phương trình 3* -8.3 +15=0. x=2 : [x=2 [x = 2 x = log; 25. x = 3. x = log; 5. * [x = log; 25. 34. Số nghiệm của phương trình 2.27* +18+ = 4.12* +3.8* là , A. O. B. 1. C. 2. D. 3. 35. (Câu 31, mã đề 104, đề thi THPTQG 2017). Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 – 2.3** + m = 0 có hai nghiệm thực x,x, thỏa mãn xy + x2 = 1. A. m=6. B. m=-3. C. m=3. D. m=1. 36. (Câu 20, đề minh họa lần 2 năm 2017, Bộ GD-ĐT). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 6* +(3-m)2” – m = 0 có nghiệm | thuộc khoảng (0;1). A. [3,4]. B. [2;4]. C. (2;4). .D. (3:4)… 37. Với giá trị nào của m, phương trình 4+1 – 2x+2 + m =0 có hai nghiệm phân biệt? A. m là 40. Tập nghiệm của phương trình A. {log, 23. B. {2}. C. {9}. 1. D. {2″}.. B. m 1. D. 0<m xx, . Tìm giá trị nhỏ nhất Smin của S = 2a+36. A. Smin = 30. B. Smin = 25. C. Smin = 33. D. Swin = 17. 45. (Câu 39, mã đề 101, đề thi THPTQG 2019). Cho phương trình log, x-log (3x-1)=-log, m (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá . trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 2. B. 4. C.3. D. Vô số. 46. Tìm m để phương trình log x+2log, x= m = 0 có nghiệm x> 2. A. m<-1. B. m3. D. m 23. 47. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 3x++3-1 0. A. (-1;0). B. [0;1]. C. (0;1).. D. (-00;0) U(1; +00). 49. Tim tập nghiệm của bất phương trình (45 -1)+(45 +1)) – 2* 0 nghiệm đúng với mọi x. A. m<2. B. m<3. C. 2<m<3. D. m=2. 51. Tìm nghiệm của bất phương trình: log(x – 3x+2)2-1. ^. A. xe[0;1)/(2;3]. 2 + 4x-5 (x+7 1 C. xe[0; 2). D. [12]. 52. Tập nghiệm của bất phương trình logo, x-log,(x – 2) < logo, 3 là T ! A. (-33). B. (3:+50). C. (200; +00). D. (-00,3). 53. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 1. [-] B.(-2;-).. 0(73) D ( 13o). 54. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2(1 + logy x log, x+ log x 0 | luôn đúng với x> 4. A. m<2. B. 2<m<3. C. m 23. D.m<3. 56. (Câu 42, mã đề 103, đề thi THPTQG 2017). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log x-2log, x+3m-2 < 0 (1) có nghiệm thực. A. m<1. B. m< . C. m<0. : D. msl. 57. (Câu 50, mã đề 101, đề thi THPTQG 2019). Cho phương trình (4log x+log, x-5)/7 – m =0 (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 49. B. 47. C. Vô số. . Đáp án 5. Do các số mũ của lũy thừa đều là bội của 2 nên đặt t=a. 14. Do giả thiết cho các lôgarit có cơ số là 2 nên ta phải tìm cách đưa cơ số của biểu | thức lôgarit trong P về cơ số 2. .. . P = log, 675 = log (5233) = log, 52 +3 = 2.40822 +3 = 4 +3.9. log, 3. b 15. Ở đây nếu mũ hóa thì bài toán càng phức tạp thêm và không thể giải quyết được, do đó ta tìm cách biến đổi phương trình. Ta có log; — = 3xy+x+2y-4 log(1- xy) – log; (x+2y)= 3xy – 3 – 1+x+2y its log; (3–3xy)+3–3xy = log; (x+2y)+x+2y. (*) . Hàm số f(t)= log,t+t trên (0;+) là tổng của hai hàm số cùng đồng biến trên (0;+) nên nó đồng biến trên (0;+) (có thể dùng cách tính đạo hàm). Do f(t) đồng biến trên (0;+) nên (*) f(3– 3xy)= f(x+2y) – 3–3xy=x+2y x=-2y+3 3 +1. -2y+3 Khi đó P = – . 3y+1 +y. + y có g _-17111 y=_ 3 -11 Xét hàm số g(y)=2y+3, 5 +1=0 @ 3y +1 (3y+1) (-1+111_211-3 nên chọn D. Dựa vào bảng biến thiên ta có P = g 8133 19. Đồ thị hàm số y=a' cho thấy đây là hàm số nghịch biến nên 0<a1 vì các hàm số tương ứng đồng biến. Ngoài ra, với cùng một giá trị x thì tung độ của điểm trên đồ thị y=bo lớn hơn so với điểm trên đồ thị y=c. Do đó, b>c>a nên chọn B. 24. Ta có log x và logy x đều là các hàm số đồng biến nên ta có logb>log, a=1 và log a<log, b=1. Suy ra log, a<10, đẳng thức trở thành t+3 = 6 ( -3) =0&t=3 (thỏa mãn). Với t=3==32x=3y. Khitó M1+log,2 3y + log12 y _log,2 (36y). 1. Chọn B. * 2log12 (3y+3y) log,2 (36y?) 29. Ở các bài lôgarit có nhiều cơ số, ta phải đưa về cùng một cơ số mới có thể giải được. Trước hết, ta biến đổi biểu thức đã cho P= log; (a”) +-3108. (A) – hogy +3(log g log, a’ ba +3(log, a-1) ь . . logo ū) : – Pet 4, + 3(log, a-1). Đặt x=log, a-1 do a>b>1 nên x>0. Khi đó xét f(x f(x) = 4(1+1)* +33 + + 3x có f(x)= 1 + 3. Tac 1+- +3= > x= 2. 31. Cách 1: Thay giá trị của x vào và kết luận nghiệm. Cách 2: Ta có 2x+2 (0)**-(69**() *-**-(0)-(0)** #1-8°=-4-4x6x-48-5=0* *=5! x = 5 … ::. Phương trình có hai nghiệm là x=-1,x=5. 34. Biến đổi phương trình thành 2.3* +2*.32x = 4.2.3* +3.231 Đặt t=(, >0, ta có phương trình Đặt t=17 , ta có phương trình 21? +42 – 47 – 3=0 (2t-3)(t+1) = 00172 It=-1 (loại). …in 2 thì x= 1. Phương trình đã cho có 1 nghiệm. 35. 9* – 2.3*+ + m = 0 (1). Đặt t=3*, Vxe Rat>0. Phương trình (1) trở thành tì– 6t + m = 0 (2). Phương trình (1) có 2 nghiệm thực x,,x, khi và chỉ khi 19-m>0 (2) có 2 nghiệm thực dương phân biệt e{6>0 80 < m 0 Khi đó tt, = 3*.3*2 = 3+ 4 = 32 m = 3 (thỏa mãn). Chọn C. 36. Do không thể đặt được ẩn phụ nên ta buộc phải biến đổi phương trình. Phương trình đã cho viết lại thành 6* +3.2* 3* +3 m(2* +1)=6* +3.2% m= n = 2*+1=2x + 1 =} (x). Ta thấy hàm số f(x) có tử và mẫu đều dương, tử là một hàm số đồng biến trên R, mẫu là một hàm số nghịch biến trên IR nên hàm số f(x) đồng biến trên IR (có thể dùng cách tính đạo hàm) nên 0<x<1ef(0) < f(x)= f(1) hay 2< f(x)0, chuyển phương trình về dạng 4t – 4t + m = 06 m =–4t +4t. | Tìm m để đường thẳng y = m cắt đô thị y=-4to +4t tại 2 điểm phân biệt với t> 0. 38. Đặt t = 4*,t> 0. Ta có phương trình t? – 4mt +5m” – 45 = 0. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm dương phân biệt 5 . 3 ? ! X LA’= 45-m2 > 0 : : : : : : : no n e{s=4m >0 e3< m 0 Vì m nguyên nên m e S = {4;5;6}. Vậy S có 3 phần tử. Chọn B. 44. Điều kiện để mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là b – 20a >0.. Xét phương trình alnox+bìnx+5=0, đặt t= lnx, phương trình đã cho trở thành at +bt +5=0, giả sử t =lnx, t, =lnx, là 2 nghiệm của phương -D trình, khi đó t +t, = in x + Inxx = ln(xx,)= = x^=e ° . Xét phương trình 5logo x+blogx+a=0, đặt u=logx ta có phương trình 5u+ bu +a=0 (*). Giả sử u =logx, , u, =logx, là 2 nghiệm của phương trình (*), khi đó u + us = log xy + log x = log(x,xa)= u, +u, = log xz + log x4 = x38 = 10%. Theo giả thiết: -b X;X2 > XzX4 Dea > 10 171. Vì a, b là số nguyên dương nên a23, mà bỏ – 20a >0 nên b28. Khi đó S = 2a + 3b22.3+3.8=30, S =30 khi a=3,6 =8. Vậy S =30. 45. Điều kiện xy và m>0. Ta có log, xỏ – log (3x-1)=-log, ma log, x-log (3x-1)=-log, m 44 =10 In 10 xx, xx, se > 0 = m10 1 – a thg 4 0 2,71. – a 2. > In 10 a 5 5 m . + log, 3x +1 = log, me m=3x=1 Xát hàm số fo)-3-1 với xe ) nên hàm số f(x) luôn đồng biến trên Red khoảng 3 , do đó 05 /() <3. Để phương trình đã cho có nghiệm thì 0< m 1. 49. Chuyển bất phương trình về dạng về no V5 – -2V2 <0. 2 + 53. Điều kiện xe(-2;-5) (1; +30). Giải bất phương trình, tìm được x0. Đặt t=logyx. 56. Điều kiện: x>0. Đặt t=log, x,te R. Bất phương trình đã cho trở thành – 2t+3m–2 3m. (2) Xét hàm số f(t)=-t+2t +2,te IR có f(t)= -21+2=0et=1. Ta có bảng biến thiên f'(t) + 0 – | -00 Bất phương trình (1) có nghiệm khi bất phương trình (2) có nghiệm, do đó 3m <3am 0; để x >0 phải có m >1. Vậy chỉ khi m >1, phương trình đã cho có nghiệm x=x. – Cho thừa số thứ hai bằng 0, được x= x =2; nó là nghiệm của phương | . , trình đã cho chỉ khi 7: 2m tức là 492m. Chú ý nếu 49 = m thì x2 = xy = 2. – Cho thừa số thứ ba bằng 0, được x= x = 2 4 ; nó là nghiệm của phương | trình đã cho chị khi 7* 2m tức là m<3 (chú ý: 7 = 2,27 ). Vậy: • khi m = 1, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x,,,, • khi m = 2, phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x ,x,,,, •khi m = 49, phương trình (*) có một nghiệm x = x = 2; • khi m nguyên, 35m 48, phương trình (*) có một nghiệm x. Chọn đáp án B. 1 Đáp án Câu Đáp án | Đáp án | Câu | Đáp án Câu 20 39 21 40 41 22 23 24 25 42 43 44 26 45 46 27 28 29 47 48 11 30 49 50 12 13 51 14 31 32 33 34 35 52 15 53 16 54 17 36 55 18 37 56 19 38 57