Đáp án
Nguồn website dethi123.com
90°. . + Cách xác định góc giữa (P) và (O) khi hai mặt phẳng đó cắt nhau theo | giao tuyến d: Xét mặt phẳng (R) vuông góc với d tại I thì góc giữa (P) và (Q) là góc giữa các giao tuyến p, q của (R) với (P) và (Q). Để tính góc đó, ta chọn các điểm A, B lần lượt thuộc p, q và không trùng với I rồi tính góc AIB nhờ hệ thức lượng trong tam giác AIB, từ đó p = AIB hoặc Q=180° – AIB. + Có thể tính góc o giữa (P) và (Q) bởi S = Scosọ (S là diện tích đa giác of nằm trong (P), S là diện tích đa giác OC’ nằm trong (Q), C’ là hình chiếu của C trên (Q)). + Khi p = 90°, ta nói rằng (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc. – Để chứng minh (P) vuông góc với (O), ta có thể: + Tính p và thấy g = 90°. + Sử dụng điều kiện hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Từ đó suy ra: • Nếu (P) 1 (Q) theo giao tuyến b mà a nằm trong (P), a vuông góc với b thì a vuông góc với (O). • Nếu (P) 1 (Q) và đường thẳng a đi qua điểm thuộc (P) mà a l (Q) thì a nằm trong (P). • Nếu (P) I (R), (Q) l (R) và giao tuyến của (P), (Q) là a thì al (R). | Nhờ những tính chất này, ta có thêm phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có BC = 2 , các cạnh còn lại cùng bằng 1. Tính góc giữa hai vectơ SB và AC. A. 90° B. 60° C. 30°. D. 120° Hướng dẫn: Cách 1. COS(SB, AC)- SB. AC (SA+ AB). AC – Elast=”4*4.57. AC =-+0=- Ž Vậy chọn đáp án D. Cách 2. Gọi D là điểm sao cho ABDC là hình bình hành. (Q) là góc giữa các giao tuyến p, q của (R) với (P) và (Q). Để tính góc đó, ta chọn các điểm A, B lần lượt thuộc p, q và không trùng với I rồi tính góc AIB nhờ hệ thức lượng trong tam giác AIB, từ đó p = AIB hoặc Q=180° – AIB. + Có thể tính góc o giữa (P) và (Q) bởi S = Scosọ (S là diện tích đa giác of nằm trong (P), S là diện tích đa giác OC’ nằm trong (Q), C’ là hình chiếu của C trên (Q)). + Khi p = 90°, ta nói rằng (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc. – Để chứng minh (P) vuông góc với (O), ta có thể: + Tính p và thấy g = 90°. + Sử dụng điều kiện hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Từ đó suy ra: • Nếu (P) 1 (Q) theo giao tuyến b mà a nằm trong (P), a vuông góc với b thì a vuông góc với (O). • Nếu (P) 1 (Q) và đường thẳng a đi qua điểm thuộc (P) mà a l (Q) thì a nằm trong (P). • Nếu (P) I (R), (Q) l (R) và giao tuyến của (P), (Q) là a thì al (R). | Nhờ những tính chất này, ta có thêm phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có BC = 2 , các cạnh còn lại cùng bằng 1. Tính góc giữa hai vectơ SB và AC. A. 90° B. 60° C. 30°. D. 120° Hướng dẫn: Cách 1. COS(SB, AC)- SB. AC (SA+ AB). AC – Elast=”4*4.57. AC =-+0=- Ž Vậy chọn đáp án D. Cách 2. Gọi D là điểm sao cho ABDC là hình bình hành. S = S. – . Suy ra cosa – Ia 2 3 Vậy chọn đáp án B. Có thể coi câu hỏi này ở mức độ thông hiểu. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh 1, tam giác SAB cân tại S. (SAB) vuông góc với (ABCD), chiều cao hình chóp bằng 3. Gọi (P) là mặt phẳng chứa DC và tạo với (ABC) góc 45°. Diện tích thiết diện do (P) cắt hình chóp bằng 512 c. 572. 1 D. 572 Hướng dẫn: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD thì SI là đường cao của hình chóp, (SII) CD. , Lấy 1, thuộc SĨ mà II, = 1 thì IJI = 45° và (P) là (ICD). Thiết diện là ABCD như hình bên. Đó A, là hình thang, I J là đường cao. Từ giả thiết ta có . 4,8. = , 1,=v2. Cách 1: Snaco – c +48) – 19 (1) 5. Vậy chọn C. Cách 2: Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên (ABC) thì Specp = Sanco . c0545o = S42cv. 2 Ta tính được Sere = Sao – 1=1- Từ đó Socp =52, chọn C. Coi câu hỏi này ở mức độ vận dụng. Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có BA = BC=1, ABC = 120, SC l mp(ABC), SC= $ Tính góc giữa mp(SAC) và mp(SAB). A. 90°. A. 90° B. 60°. B. 60°. C. 45°. . D. 30°. Cách 1: SA, B, + AB).I,J == 1+ . Vậy chọn C. ABCD 3 6 A’B’CD A’B’CD ABCD . 16 . D. 300 Hướng dẫn: Cách 1. Gọi M là trung điểm của AC thì BM A(SAC), từ đó ASAM là hình chiếu của ASAB trên mp(SAC). . Khi đó s’= S SAM = SASAB.coso (ọ là góc cần tính). Ta có s-5sec sv2 Kẻ CH 1 AB thì SH là đường cao của A SAB; SH = SC + CH” hay SH = 3, từ đó Ssa 3. Do đó cosp Vậy chọn đáp án C. Cách 2. Gọi M là trung điểm của AC thì BM 1 (SAC). Kẻ MAI 1 SA tại AI thì BAT I SA. Vậy MAB là góc phải tìm. Kẻ CAY || MAI, 2 ?. AAB CA21 SA. Ta có CA2=1 và B 1 Từ đó cot MAB =. MB 1, tức có MB 1 là MA, B = 45°. Vậy chọn đáp án C. Cách 3. Chọn hệ tọa độ sao cho gốc O là trung điểm của AC và. o(0:30), sf 12:01: Khi đó các vectơ pháp tuyến A,SA) = (0; 1; 0), n(SAB) =(16; 3/2; 2/5). Tính góc p bởi cosp= 2 .nl | Có thể coi câu hỏi này ở mức độ vận dụng cao. 000 UO. 2.2. Khoảng cách Kiến thức, kĩ năng • Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng hay một mặt phẳng là độ dài đoạn thẳng MH (H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thăng hay mặt phẳng). • Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M thuộc đường thẳng đến mặt phẳng. • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. • Nếu M thuộc đường thẳng a, a cắt (P) tại điểm 0 thì d(MG(P) OM d(N;(P) ON với N là điểm nào đó thuộc a và N khác 0. a . . được tính bởi 1 – 1 – 1 • Nếu ABCD là tứ diện có AB, AC, AD đôi một vuông góc thì d(A; (BCD)= 1 bởi # AB*AC*AD* Khoảng cách da ; b) giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b được tính bởi một trong các cách sau: + da; b)= ID; J là đường vuông góc chung của a, b (đường thẳng vuông góc và cắt a, b lần lượt tại I, J). + d(a; b) = d(a; (Q), (Q) là mặt phẳng chứa b, (Q) // a. Chú ý rằng: + Khi alb thì d(a; b) = d(I; b), ở đó I là giao điểm của (P) qua b, (P) 1 tại I. + Khi ABCD là tứ diện có AC = BD; AD = BC thì d(AB,CD) = IJ (I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD). + Có thể phối hợp với phương pháp thể tích để tính d(a; b), cụ thể nếu | tạo được tứ diện ABCD mà A E a, a || mp(BCD), B và C thuộc bộ thì I a. dla: b) = 3V ABCD ” SABCD Một số ví dụ Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 1, BAC = 30°, (SAC) L (ABC), góc giữa SB, SC và mặt (ABC) bằng 45°. Tính chiều cao của hình chóp. A. h= B. h=1. C. hoz D. h=2. | Hướng dẫn: Vì (SAC) I (ABC) nên chân đường cao H của hình chóp thuộc đường thẳng AC và HBS = HCS = 45°, tức là HB = HC hay H thuộc đường trung trực của BC của tam giác ABC cân tại A. Vậy H trùng với A. Do A SAB có AB = 1, SBA = 45° nên SA = 1. Do đó chọn phương án B. Có thể coi câu hỏi này ở mức độ thông hiểu. Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, C = 60°, AC = 2, SA 1 (ABC), SA = 1. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa SM và BC. A. V21 B. 2721 ;.c.v21 D. 2/21 3 Hướng dẫn: Cách 1. Ta có CB 1 (SAB) tại B mà SM nằm trong (SAB) nên d(BC, SM) = d(B,SM) = BH (đường cao của tam giác SMB). ” Vì BH . SM = SAAB = 1.5, SM =1+3 nên khi BH = 121. Vậy chọn đáp án C. 2 6 . Cách 2. Kẻ MN // BC thì d(BC, SM) = d(BC, (SMN)) = d(B, (SMN)) = d(A,(SMN)) =h (chiều cao của tam giác vuông SAM kẻ từ A). 1 1 1 121 , từ đó h=”4. Chọn đáp án C. h = As? + MA’ Có thể coi câu hỏi này ở mức độ vận dụng. Ví dụ 8. (Câu 40, mã đề 101, đề thi THPTQG 2019). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD). Khoảng cách từ A đến mp(SBD) bằng A. Vala B. Vala . c. Vza . D. Vala Hướng dẫn: | Cách 1. d(A, (SBD)) = 2d, (SBD), I là trung điểm của AB. Kẻ IK vuông góc với BD tại K. 28 . w Ta có SĨ là đường cao của hình chóp, từ đó dI, (SBD)) = h (h là chiều cao của tam giác vuông SIK kẻ từ I, IK || AC). www. 1 1 1 Uv = – + IS2 IK2, ta ti -, ta tính được h == 2.7 : I Vậy déA, (SBD) = a21. Do đó chọn B. – Coi câu hỏi này ở mức độ vận dụng cao, V S.ABCD 1) Cách 2. d(A,(SBD)* Sasap – và đi đến đáp số. ASBD 1BD.SK Cách 3. Chọn hệ tọa độ sao cho gốc O là giao điểm của AC và BD, Viết phương trình (SBD) và tính d(A; (SBD) theo công thức sẽ có kết quả. Ví dụ 9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD). A. 3. B. 243 C. 13. D.V3. Hướng dẫn: | Cách 1. d(B’ ; (A’BD)) = d(A ; (A’BD)) (vì AB’ cắt . (A’BD) tại trung điểm O của AB’) = h (chiều cao của hình chóp A.A’BD). Tứ diện AA’BD vuông tại A mà AB # Okt AD = AA’ = 1.Vậy h = ho, do đó chọn D. Cách 2. A=3 May mà Yap 1, và diện tích AA’BD AA’BD A ‘BD AABD là SBD = yh= thể coi câu hỏi này ở mức độ vận dụng. Cách 3. Chọn hệ tọa độ mà A(0;0; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0; 1; 0), A(0; 0 ; 1) thì mp(A’BD) có phương trình x+y+z-1=0 và d(B’;(A’BD) = 2 Chú ý. Việc chọn hệ tọa độ thích hợp giúp ta có thêm cách tiếp cận để tìm đáp án một số câu hỏi trắc nghiệm của tài liệu này. Chẳng hạn các câu 11, 12, 23, 25, 28, 29,… ở dưới đây. Bạn đọc tự chọn hệ tọa độ cho mỗi câu để việc ôn tập có hiệu quả. II. C U HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1, | chiều cao bằng 3. Gọi A1, D1 là các điểm mà AB = BA = CD. Gọi (P) là mặt phẳng chứa ADN và tạo với (ABCD) góc 45°. Diện tích thiết diện do (P) cắt hình hộp bằng A. V2. : B.V. .c. 22.. :D.2. C. 173: . V13 : 2. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác đều ABC, DBC cạnh bằng 1, DA = Tính khoảng cách từ C đến mp(ABD). A. T. B. h 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA = SC; SB = SD. Gọi d và do lần lượt là giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC). Gọi O là giao điểm của AC, BD. Tính góc giữa SO và mp(d, d’). A. 30. B. 45°. C. 60°. D. 90°. 4. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = 1, AD = 2, SA vuông góc với (ABC), SA = V2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). A. 30°. B. 45° C. 60°. D. 90° 5. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác đều ABC, DBC cạnh bằng Tính côsin của góc ở giữa hai đường thẳng AB, CD. A. cos a = B. cose == C. cos a = D. cosa 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2; SA vuông góc với mp(ABC), SA = 2. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính khoảng cách từ H đến mp(SCD). A. 4V2. D. B. cosa = y C. cosa . D. cosa, 7. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = 1. AOB = 60°, BỌC = 90°, COA = 120°. Tính góc giữa (ABC) và (OBC). A. 60°. B. 45° C. 30°. D. 90°. 8. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại B, AB = 1, góc ở đáy 309, SA 1 mp(ABC), SA = . Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABC). A. 30° B. 45o C . 60° D. 90°. 9. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2. Gọi Ci là trung điểm của CC’. Tính côsin góc ở giữa hai đường thẳng BC và A’B’. A. cosa = 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, ABC = 120°, SC 1 (ABC), SC = 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SAB). A. 30° B. 45° C. 60°. D. 90° 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật mà AB = 2 AD, SA I (ABC). Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa (SAC) và (SDM).. A. 90°. B. 45o. …C. 60°. Av . D. 30°. 12. Cho tứ diện OABC có AOB = 90°, AOC = BOC = 60°, OC= 1, OA = OB = 2. Tính cosp với ọ là góc giữa hai mặt phẳng (OAC), (OBC). A. cosp= C. cospa D. cosp= 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. (P) là mặt phẳng qua trung điểm Ai của AB và vuông góc với AC. (P) cắt hình lập phương theo hình vẽ. Khi đó diện tích S của C là 2 B. cos O== V3 A. 13. 1 14. Gọi họ, họ, họ, họ là độ dài bốn đường cao của tứ diện. Tìm mệnh đề sai. A. ht=h2 = 3 = họ chỉ xảy ra khi tứ diện đó là tứ diện đều. B. Có tứ diện mà một trong bốn độ dài đó bằng độ dài một cạnh của tứ diện. C. Có tứ diện mà hai trong bốn độ dài đó bằng độ dài hai cạnh của tứ diện. D. Có tứ diện mà ba trong bốn độ dài đó bằng độ dài ba cạnh của tứ diện. 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 1, (SAB) 1 (ABC). SAB là tam giác cân tại S, cạnh bên SC tạo với đáy góc a mà tan a = 2. Tính độ dài đường cao của hình chóp đó. A V5 B. V5 1. c. A. Ž. 2 3 3 3 ..D. 15. 16. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, BC = 1, AB = 2, SAB là tam giác cân tại S, SA = 3, (SAB) 1 (ABC). Tính d(SB; AD). . 442 B. 2°2 c. 2 D. 572. 17. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 1. (SAB) I (ABC), SAB là tam giác cân tại S, góc giữa SC và mp(ABC) bằng 30°. Tính d(B; (SCD)). 15 i 185. ISBN 185 los C. 15 D. 17 . 18. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, BAD = 120°, SA l (ABCD), góc giữa SC và (ABC) bằng 45°. Tính d(BD; SC). A. V2. … c. v2 :. D. V2 19. (Câu 29, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a, SA 1 (ABCD) và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, SB bằng A. 13 B. 17 20. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi I là giao điểm của A’C’ và BD’. Tính d(I’; (ABD)). 1. c. 3. D. 4/3 21. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh 1, ABC = 120°, SA = SC = 3, SB = SD. Tính (A; (SCD). . To A. V3 D. 273. : : 4. A. 16. B. .. C. D. 22. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có các cạnh cùng bằng 1. Gọi A1, B1 lần lượt là trung điểm của AA’, BB’. Tính d(BoAi, CB1). C. 13. 23. Cho hình chóp S.ABCD có SD = 2 , các cạnh còn lại bằng 1. Tính độ dài đường cao của hình chóp. A. VO. B. 276. c. V6. 24. (Câu 39, mã đề 102, đề thi THPTQG 2018). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI mà OM = MI. Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng 6713 7185 6 785 1713 A. 65 B. 85 . 85 25. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật AB = 1, BC= 2, các cạnh | bên cùng bằng 42. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AD và I là trung điểm của AB. Tính d(EF; SI). 3-65 4. V21 B. 121 D. 2/21 3 26. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, A = 60°; SA = SC, SB = SD, chiều cao hình chóp bằng 1. Tính d(AB; SM) với M là trung điểm của CD. 157 A. 2/5 19 : D. 27. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh 1, hình chiếu của A trên mp(A’B’C’) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, góc giữa mp(AB’C’) và mặt đáy lăng trụ bằng 60°. Tính d(AA’; BC). A. 2V7 28. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với các kích thước bằng 1, 2, 3. Tính d(C’; (A^BD)). A. C. D. 12 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1, SA l (ABCD), SA = 1. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mp(SCD). : 2.12 A. VZ. B. 3 3 30. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 1. Gọi M, N’ lần lượt là trung điểm của BC, AC. Tính d(MN”; AB). A. 3 B. CO D . 13. Đáp án 1. Gọi I, II, I’lần lượt là trung điểm của AD, AD và A’D’ thì (I’IFI AD. Lấy 15 thuộc II’ mà II2 = 2 thì I,II bằng 45° và thiết diện phải tìm là A2B1C1D2. i Cách 1. ABCD là hình chữ nhật có A2D2 = 1, A2 Vậy S,B,CD, =42. Từ đó chọn A. Cách 2. Ta có ABCD là hình chiếu của A,B,C,D trên (ABCD) nên SABCD = SA, C, D, cos45°, mà SABCD =1 nên SA,B,CD, = V2. Cách 3. Chọn hệ tọa độ sao cho A(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D(0; 1; 0), 4′(0; 0; 3), khi đó 1, 0, 1, 2), A(0; 0; 2), D(0; 1; 2), B (1; 0; 1), C(1; 1; 1) và tính SĄBGD2 Cách 1. Chọn C là đỉnh hình chóp C.ABD thì hình chiếu H của C trên (ABD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và BH bằng bán kính. Gọi I là 2. 1.1. v3 trung điểm của AD thì tính BH bởi AD.BI = -3 , từ đó BH = 6 và CH =. ABCD AABD Cách 2: Tính CH bởi CH 3 Cach Vaco = 21. I là trung điểm của DC), từ đó CH = 3 Cách 3. Chọn hệ tọa độ sao cho K(0; 0; 0), K là trung điểm BC, C(0; 0; 2), Ac5, 0, 0), De : 0), từ đó B(0, 0, -1). Viết phương trình mp(ABD) 3x+y-32-3 = 0 và tính khoảng cách phải tìm. 2 | 3. Có d || AB, tức là d // mp(ABCD), cũng như vậy d’ || mp(ABCD). d, d’ cùng qua S nên mp(d, d) || mp(ABCD), vậy góc cần tìm bằng góc giữa SO và mp(ABCD). Vì SA = SC nên SO I AC ; SB = SD nên SO 1 BD, tức là SO I mp(ABCD). Vậy chọn đáp án D. 1 un 2 4. Cách 1. Hình chiếu của tam giác SCD trên mp(SAB) là tam giác SBA và áp dụng S’= S cos a ta được cos a=s, a= 60°. Cách 2. Gọi J là giao điểm của AB và CD thì SJ là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB), (SCD). Kẻ AK I S thì a= AKD, có AK = ? vì AK.J = AJ.AS, tan a = 13, a = 60° Cách 3. Chọn hệ tọa độ mà A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 2; 0), 3(0; 0; 2), khi đó C(1; 1; 0). Ta có vectơ pháp tuyến của (SAB) là n = 0; 1; 0), vectơ pháp tuyến của (SCD) là n = (1; 1; 2) và tính cos a = 1, a = 60°. – –… 1 5. Cách 1. Lấy E sao cho ABCE là hình thoi, khi đó a= DCE hoặc a = 180° – DCE. Gọi O là giao của AC và BE thì DE? + BD? – BE = D# + DC? _AÇ? DE 1-2-3-1-, từ đó DE – TI N DE? = DC? + CE– 2.DC.CE cosDCE, —- ——> 2=1+1 -2.1.1.coDCE = cos DCE Cách 2. Chọn hệ tọa độ sao cho J(0; 0; 0) (J là trung điểm của BC), C10; 0; 1), 4(12:10,0), 0(23.12:0) = B( 0:0;-). Khi đó BÀ II (15,0,1), CÓ 1 (; 3; -2), cosa – – – 8. 6. Ta có H – 4 nên BH = Bs, từ đó: Cách 1, QH; (SCD)= 3dB; (SCD) = $d(A; (SCD). Gọi I là trung điểm của SD thì d(A; (SCD) = Al = 2. đó: Từ đó dH; (SCD)) = DH CDH SBCD) >CD SASCD Cách 2. dlH; (SCD) – cena, Verona Paves, Saso = V2. Vậy (H; (SCD)=42 Cách 3. Chọn hệ tọa độ sao cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 2; 0), B(0; 0; 2). Vì BH = BS nên BH = BS. Từ đó H2, 0; 2. Phương trình mp(SCD) là y+/- 2 = 0. Vậy d(H; (SCD) =^. Có AB = 1, BC = 2, AC = 3 nên ABC là tam giác vuông tại B. Gọi H là hình chiếu của 0 trên (ABC) thì H là trung điểm của AC. Cách 1. Xác định góc giữa (ABC) và (OBC). Kẻ HI || AB thì HI 1 BC, OI 1 BC nên OIH là góc giữa hai mặt phẳng đó. Dễ thấy B/…. HI = 1, HO = 1. Vậy OIH = 45°, từ đó chọn 2 đáp án B. Cách 2. Ta có tam giác HBC là hình chiếu của A tam giác OBC trên mp(ABC) mà SCHE ORO Vậy cosa = 4, tức là a = 45°, từ đó chọn đáp án B. Vì BAC = 30°, AABC cân tại B nên ABC = 120. Cách 1. Xác định góc giữa (SBC) và (ABC). Kẻ AH 1 BC thì SH 1 BC nên SHA là góc cần tìm, chú ý rằng BH = BC. Ta có AH = 3 Vậy SHA = 45°, do đó chọn đáp án B. – 2 14 K 4 ‘x X. z = y. + ‘= -x + y. Cách 2. Ta có tam giác ABC là hình chiếu của tam giác SBC trên (ABC) mà SAạc =3, Sasac vo, từ đó cosas . Vậy chọn đáp án B. 9. Cách 1. Vì A’B’ // AB nên góc giữa A’B’ và BC là góc giữa AB và BC. Dễ thấy A ABC cân tại C nên góc đó là ABC. Do BC = 2 , HB =. trung điểm của AB) nên cos ABC = 2. Vậy chọn đáp án A. Cách 2. Đặt CA=x, CB = y, CC = 2 thì x=1, y =1,5 = 2, 1. = y.z=0, xy-3 Ta có BC = – y+, A’B’ = -x + y. BC, AB = , cos[BG, A’B’)- – Vậy góc giữa hai đường thẳng A’B’ và BC là a mà cosa | đáp án A. . 10. Xác định góc a giữa hai mặt phẳng (SAD), (SAB). Gọi O là giao của AC, BD; kẻ OẠI 1 SA thì có góc giữa (SAB), (SAD) bằng góc giữa hai đường thẳng DA1, BAN. Xét góc DA, B. Ta có ADAB cân tại Ai nên chỉ cần | tính OA, B. √3 56 | từ đó chọn Có 04, 0. Có VM – OA – 04 – 2’2_1 SC S. Vậy OA, B = 45°, tức là DAB= 90°, từ đó chọn đáp án D. 11. Nhận xét ABCD là hình chữ nhật mà AB = thì ACIDM với M là trung điểm của AB bởi 2 AD ADD 10 tức là A ADM OM – tức là A ADM là AD AD DC 2 Ô . 3 đồng dạng với ADCA, từ đó AC l DM. Từ nhận xét đó ta có DM 1 (SAC), do đó (SDM) I (SAC). Vậy chọn đáp án A. 12. Cách 1. Từ OC = 1, OA = 2, AC = 3 ta có tam giác OCA vuông tại C. Cũng như thế tam giác OCB vuông tại C. Như vậy = ACB hoặc p = 180° – ACB. . Theo định lí côsin trong AABC ta có cosACB = -1, từ đó cosp= Vậy chọn đáp án B. Cách 2. Kẻ BH 1 AC thì BH 1 (OCA) và tam giác OCB có hình chiếu trên mp(OCA) là tam giác OCH. Dễ thấy HC – CA nên cosp=. Vậy chọn đáp án B. 13. ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên (A’BD) 1 AC. Vậy (A’BD) song song với (P). Từ đó dễ thấy hình ca là tam giác A12A3 với A2, A3 là trung • điểm các cạnh AD, AA’, đó là tam giác đều cạnh bằng 12. Diện tích hình cử là S=1 = 3. Do đó chọn đáp án D. 14. Chọn đáp án A. 15. H là trung điểm của AB thì SH I (ABCD), HC = 5, SH = HC tan a = 5 nên chọn đáp án D. 16. Gọi H là trung điểm của AB thì SHI(ABCD), d(SB; AD) = d( AD; (SBC) d(A; (SBC)=2d(H; (SBC)) = 2h (h là chiều cao kẻ từ H của A SHB vuông, h=-=) nên chọn đáp án A. 17. Gọi H là trung điểm của AB thì SH 1 (ABCD), d(B ; (SCD)) = 0H ; (SCD)) = h (chiều cao của tam giác vuông SHK kẻ từ H). Có SH = V2, HK = 1 nên h = = chọn đáp án B. 6 3 – 2 4 3 ALLA wo 115 To 6 18. Cách 1. d(BD; SC) = d(BD; (SEF). (EF qua C và EF || BD) = d(A; (SEF) “h (h là độ dài đường cao kẻ từ A của A SAC). A SAC cân tại A nên h = ABCD Vậy chọn đáp án C. Cách 2 địa ; (SEF) – Yaz 23. ABCD 2, từ đó chọn đáp án C. ” Sasef SASEF Cách 1. Gọi D là điểm đối xứng của D qua A thì BD || AC; d(AC, SB)= d(A;(SBD)). Kẻ đường cao AH của tam giác ABD thì d( A;(SBD) bằng chiều cao h của tam giác SAH kẻ từ A. Từ đó h=và chọn đáp án B. Cách 2. Chọn hệ Oxyz sao cho A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; a) khi đó D(0;-2a;0), phương trình mặt phẳng (SBD) là 2x-y+ 2z – 2a = 0, d(4;(SBD) = 4. Từ đó chọn B. Cách 3. (4;(SBD)= a2, và cũng có d(4; (SBD)= 2a. Từ đó chọn đáp án B. 20. Ta có AC 1 (A’BD) và dọc, (A’BD) = AC =23, C4′ cắt mp(A’BD) tại A, I là trung điểm của A’C’ nên d; (A’BD) = . Vậy chọn đáp án A. 21. Kí hiệu H là tâm của đáy thì SH I (ABCD), d(A ; (SCD)) = 2d(H ; (SCD)). Ké HI I CD thì d(H; (SCD) = h (chiều cao kẻ từ H của tam giác vuông SHI). SH Ý, HI = BM , từ đó – 6 Vậy chọn đáp án C. SABDA www 225 l 22. d(B’A1, CB1)= d(B’; (AB+C)) = d(B; (AB+C)) = h. Gọi I là trung điểm của AC thì h chính bằng đường cao của tam giác vuông B B1 kẻ từ B, BB, =, BI => nên h ồ. Vậy chọn đáp án A. Chú ý: h=374,45C 5 B : S 1C = 1 BE * SABC 4 23. Cách 1. Có BC = SO = OD nên SBD vuông tại S. Gọi SH là đường cao hình chóp thì H thuộc BD. Do tam giác SBD vuông tại S, SB = 1, SD = 2 nên SH= 9. Vậy chọn đáp án D. Cách 2. Đặt SH = h thì h = ABC, mặt khác | SAABC . ^ AC + BD = 4AB = 4, BD = 3, từ đó AC = 1. ‘ | Vậy h=” Từ đó chọn đáp án D. 24. Đặt cạnh lập phương bằng 1; Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’. Cách 1. Ta có PN = V2. Gọi M là giao tuyến của (MC’D’) và (MAB) thì (MNP) 1 d d II AB và d // CD); MN 13 MP 25. Áp dụng định là 25 13 5V13 côsin vào tam giác MNP: 2 = PN ” *36 36 4. 36 =cos PMN. Từ đó 2. Gọi 0 là góc giữa (MC’D) và (MAB) thì cos p =1713. Vậy chọn đáp án D. Cách 2. Gọi P’ là hình chiếu của P trên mặt phẳng (A’B’C’D’). Chọn hệ Oxyz sao cho P(0;0;0), A;;0;0), 5(0; };0), P(0;0;1). Khi đó M(0;;;;, N(0;1;0). MP // (0;-3;4), AB // i= (1;0;0). Vectơ pháp tuyến của (MAB) là n =(0;4;3), vectơ pháp tuyến của (MC’D’) là n =(0;2;3). 36 COS PMN =-17113 65 65 n.12 Gọi 0 là góc giữa hai mặt phẳng đã nêu thì cos = 4, COS Q = 17/13 – và chọn đáp án D. 65 . . . ……… ……. AMC D’ AMC’D Cách 3. Dùng công thức s’= S cosọ để tính cos p. Ta có (MNP) cắt lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo hình vuông PP’NQ (P’ là trung điểm A’B’, Q là trung điểm CD); (MNP) cắt (MAB) theo đường thẳng MP, MP đi qua trung điểm K của IN. Kẻ NN vuông góc với MP thì N, là hình chiếu của N trên (MAB); MC’D’ có hình chiếu trên (MAB) là MCD, CD qua N, CD || C’D’ và CD =1, N, là trung điểm của CD. SMC A = 1.MN; SMcp = …MN. Do đó SAMGP = SAMC p Cos o hay MN = MN cos (p(*). Ta có MN = 113. MN,? = MN2 – NN;, MK.NN, = 2Sxxx = Swow = iz MK – 25 Vậy NN 1 và MN7, thay vào (*) ta có cos ( 173 Từ đó chọn D. 25. d(EF; SI) = d(EF ; (SAB)) = d(H; (SAB)) = (h là chiều cao của tam giác vuông SHI kẻ từ H). Ta có HI= 1, SH = 2 ! 21 . Từ đó h=”4″. Vậy chọn đáp án B. AMKN 65 AC2 3 Chú ý: Có thể tính h bởi l= 3 SABH SASAB 26. Ta có chân đường cao H của hình chóp là giao của AC và BD. d(AB, SM) = d(AB; (SCD)) d(A; (SCD)= 2d(H; (SCD)) = 2h (h là chiều cao kẻ từ H của tam giác vuông SHI, HII DC). 57 Do SH = 1, HI = nên h = > chọn đáp án A. V57 ; tur at 19 27. Gọi I là trung điểm của B’C’, ta có ATA’= 60°, AH = 2.15 = AA” =-=-= 4 3 12′ A 213 Vì (AA’I) 1 BC nên d(AA; BC) = IJ (đường cao của tam giác AA’). Từ AA’. IJ = AI. AH suy ra IJ =37. Vậy chọn đáp án B. 28. Ta có dC”; (A’BD) = 2(A; (A’BD) = 2.1.2.3 Vậy chọn đáp án D. 29. Ta có GS = 3s (I là trung điểm của AB) nên dG; (SCD)= 40: (SCD)= 4( 4 (SCD). Kẻ AJI SD (J là trung điểm của SD) thì 12. 4+36 +9 7 . AJ I (SCD). X Vậy dG (SCD) = – 87, từ đó 2 3 A chọn đáp án B. 30. Gọi N là trung điểm của AC thì MN // AB, NN’ // BB’ nến (MNN) // (BAB). Từ đó d(AB’; MN)= d((MNN) ; (BAB’)) = d(B; (MNN)= d(C ; (MNN) = -CI (I là trung điểm của AB) = Vậy chọn đáp án C. AB www 1 Đáp án Câu | Đáp án Câu Đáp án | Đáp án Câu 21 11 22 12 13 23 24 14 15 16 17 25 26 27 28 18 29 19 20 10 l 30 . . . . .