Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp Trung học phổ thông quốc gia năm học 2022 môn Toán-Phần một. Ôn tập theo chủ đề-Chủ đề 2. Tổ hợp – Xác suất

1. Hai quy tắc đếm cơ bản Các quy tắc này được sử dụng khi cần tính số cách thực hiện một công việc, mà công việc ấy có thể được thực hiện theo nhiều phương án đổi một khác nhau, hoặc có thể được thực hiện bằng cách thực hiện liên tiếp các công đoạn đôi một khác nhau. 1.1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo k2 2 phương án đôi một khác nhau A , A, , , ,. Và giả sử có n, cách thực hiện công việc theo phương án A, có n, cách thực hiện công việc theo phương án A,, …, có n, cách thực hiện công việc theo phương án A. Khi đó, sẽ có n, + n +…+ n, cách thực hiện công việc A. Ví dụ. Từ các học sinh của lớp 10A và các học sinh của lớp 10B, người ta muốn chọn ra 5 học sinh cùng lớp. Hỏi, có tất cả bao nhiêu cách chọn? | Giải. Công việc cần thực hiện ở tình huống nêu trên là “chọn ra 5 học sinh cùng lớp”. Rõ ràng, có hai phương án để thực hiện công việc này: – Phương án 1: Chọn ra 5 học sinh từ các học sinh của lớp 10A; – Phương án 2: Chọn ra 5 học sinh từ các học sinh của lớp 10B. Vì thế, số cách thực hiện công việc nêu trên (tức, số cách chọn ra 5 học sinh cùng lớp) bằng số cách chọn ra 5 học sinh từ các học sinh lớp 10A cộng với số | cách chọn ra 5 học sinh từ các học sinh lớp 10B. 1.2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc A có thể được hoàn thành bằng cách thực hiện liên tiếp k22 bước đổi một khác nhau. Và giả sử có n, cách thực hiện bước 1, có n, cách thực hiện bước 2, …, có n, cách thực hiện bước k. Khi đó, sẽ có n,n,…ng cách hoàn thành công việc A. Ví dụ. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số, mà mỗi số đều có ba chữ số đầu giống nhau, và đồng thời có hai chữ số cuối giống nhau? Giải. Rõ ràng, số số lập được chính bằng số cách hoàn thành công việc “lập một số có 5 chữ số, sao cho ba chữ số đầu của nó giống nhau, và đồng thời hai chữ số cuối của nó cũng giống nhau”. Dễ thấy, có thể hoàn thành công việc vừa | nêu bằng cách thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Chọn ra một chữ số khác 0 để viết ba chữ số đầu của số cần lập; 2 – HDTHPTT-A – Bước 2: Chọn ra một chữ số để viết hai chữ số cuối của số cần lập. Vì có 9 chữ số khác 0 nên ta có 9 cách thực hiện bước 1. Vì có 10 chữ số nên ta có 10 cách thực hiện bước 2. Do đó, sẽ có 9. 10 = 90 cách hoàn thành việc lập số nói trên, và vì thế, số số lập được bằng 90. 2. Hoán vị- Chỉnh hợp – Tổ hợp | Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là những đối tượng toán học thường gặp trong thực tiễn công việc, cũng như trong thực tiễn sinh hoạt hằng ngày. . 2.1. Hoán vị. Mỗi cách sắp xếp n phần tử đôi một khác nhau cho trước (n + N^, theo một thứ tự nào đó, được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. • Kí hiệu P, là số hoán vị của n phần tử, ta có: P= n!. Ví dụ, mỗi cách xếp 6 học sinh thành một hàng (ngang hoặc dọc) là một hoán vị của 6 học sinh đó. : 2.2. Chỉnh hợp. Cho các số nguyên dương k và n, với ký n. Mỗi hoán vị của k phần tử đổi một khác nhau trong số n phần tử đôi một khác nhau cho trước, được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Kí hiệu A* là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta có: n! (n – k)! – Ví dụ, mỗi cách xếp 3 học sinh, của một lớp học có 35 học sinh, ngồi vào một chiếc bàn học là một chỉnh hợp chập 3 của 35 học sinh lớp đó. 2.3. Tổ hợp. Cho các số nguyên dương k và n, với k • Quy tắc cộng xác suất: Với A, B là hai biến cố xung khắc tùy ý, cùng liên quan đến một phép thử có không gian mẫu 2 là một tập hữu hạn, ta có: P(A U B) = P(A) + P(B). • Quy tắc cộng xác suất mở rộng: Với A, A, , , A, là n biến cố đôi một xung khắc tùy ý (n là số nguyên dương lớn hơn 1), cùng liên quan đến một phép thử có không gian mẫu 2 là một tập hữu hạn, ta có: P(U4) – ŠP(4). i= • Quy tắc nhân xác suất: Với A, B là hai biến cố độc lập tùy ý, cùng liên quan đến một phép thử có không gian mẫu 2 là một tập hữu hạn, ta có: P(AB) = P(A).P(B). • Quy tắc nhân xác suất mở rộng: Với A, A,, …, , là n biến cố độc lập tùy ý (n là số nguyên dương lớn hơn 1), cùng liên quan đến một phép thử có không gian mẫu 2 là một tập hữu hạn, ta có: P(4,4…A.) = P(4).P(A2)…P(4,). 5. Một số ví dụ 5.1. Ví dụ 1 (Câu 22, mã đề 102, đề thi THPTQG 2020). Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc? A. 7. B. 5040. C. 1. D. 49. Hướng dẫn giải: Do mỗi cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 7 học sinh đó, nên số cách xếp bằng 7!. Chọn đáp án B (do 7, 1, 49 < 7!). 5.2. Ví dụ 2. Từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, có thể lập được tất cả bao nhiêu số có bốn chữ số, mà trong mỗi số, các chữ số đôi một khác nhau? A. 4° số. B. C số. C. 6! số. D. At số. Hướng dẫn giải: Để có một số có 4 chữ số thỏa mãn yêu cầu đặt ra, cần sắp xếp 4 chữ số đổi một khác nhau, trong 6 chữ số đôi một khác nhau đã cho, thành một dãy các chữ số, đứng liền nhau theo một thứ tự nào đó. Do đó, mỗi số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu đặt ra là một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số đã cho. Vì thế, số số có thể lập được bằng A. Chọn đáp án D. – 5.3. Ví dụ 3 (Câu 1, mã đề 104, đề thi THPTQG 2019). Số cách chọn ra 2 học sinh từ 8 học sinh là A. C . B. 8. C. A. D. 28. Hướng dẫn giải: Ứng với mỗi cách chọn ra 2 học sinh từ 8 học sinh đã cho, ta có một nhóm gồm 2 học sinh trong số 8 học sinh đó. Ngược lại, ứng với mỗi nhóm gồm 2 học sinh trong số 8 học sinh đã cho, ta có một cách chọn ra 2 học sinh từ 8 học sinh đó. Vì thế, số cách chọn chính bằng số nhóm gồm 2 học sinh trong số 8 học sinh đã cho, tức là bằng số tổ hợp chập 2 của 8 học sinh ấy. Chọn đáp án A. Lưu ý 1. Từ hướng dẫn giải của Ví dụ trên, ta thấy, số cách chọn ra k phần tử đổi một khác nhau từ n phần tử đổi một khác nhau cho trước (1 < ký n) chính bằng số tổ hợp chập k của n phần tử ấy. 5.4. Ví dụ 4. Cho một hộp bị có 19 viên, gồm 7 viên bị xanh và 12 viên bi đỏ. Biết rằng, không có hai viên bị cùng màu nào giống hệt nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra hai viên bi cùng màu từ hộp bị đó? A. 171 cách. B. 87 cách. C. 174 cách. D. 19 cách. Hướng dẫn giải: Ta có thể thực hiện công việc “chọn ra hai viên bi cùng màu từ hộp bị đã cho” theo hai phương án sau: – Phương án 1: Chọn ra hai viên bị màu xanh; – Phương án 2: Chọn ra hai viên bi màu đỏ. Từ đó, theo quy tắc cộng, số cách thực hiện công việc nêu trên (tức, số cách chọn ra hai viên bi cùng màu từ hộp bị đã cho) bằng số cách thực hiện công việc đó theo phương án 1 cộng với số cách thực hiện công việc ấy theo phương án 2. Số cách thực hiện công việc nêu trên theo phương án 1 chính bằng số cách chọn ra 2 viên bị từ 7 viên bi màu xanh; do đó, theo Lưu ý 1, bằng số tổ hợp chập 2 của 7 viên bị đó. Tương tự, số cách thực hiện công việc nêu trên theo phương án 2 chính bằng số tổ hợp chập 2 của 12 viên bị màu đỏ. Vì vậy, số cách chọn ra hai viên bi cùng màu từ hộp bị đã cho bằng C + C. Chọn đáp án B. 5.5. Ví dụ 5. Một lớp học có 18 học sinh nam và 19 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiều cách chọn ra từ lớp học đó 5 học sinh, gồm 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ? A. 148 257 cách. B. 1122 cách. C. 6120 cách. D. 1779 084 cách. Hướng dẫn giải: Việc “chọn ra 5 học sinh, gồm 2 nam và 3 nữ” có thể được | hoàn thành bằng cách thực hiện liên tiếp hai bước sau: . – Bước 1: Chọn ra 2 học sinh nam từ 18 học sinh nam của lớp; – Bước 2: Chọn tiếp ra 3 học sinh nữ từ 19 học sinh nữ của lớp. Vì thế, theo quy tắc nhân, số cách hoàn thành việc nêu trên (tức, số cách chọn ra 5 học sinh, gồm 2 nam và 3 nữ) bằng số cách thực hiện bước 1 nhân với số cách thực hiện bước 2. Số cách thực hiện bước 1 bằng CN; số cách thực hiện bước 2 bằng C. Do đó, số cách chọn ra 5 học sinh, gồm 2 nam và 3 nữ bằng CNC. Chọn đáp án A. – 5.6. Ví dụ 6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được tất cả bao nhiêu số có năm chữ số, mà trong mỗi số, các chữ số đôi một khác nhau và tăng dần từ trái qua phải? A. A số. B. C số. C. 7 số. | D. 7.6* số. Hướng dẫn giải: Có hai cách lập luận để tìm ra câu trả lời cho câu hỏi trên. + Cách 1. Có thể hoàn thành việc lập một số thoả mãn yêu cầu đặt ra ở câu hỏi bằng cách thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Từ các chữ số đã cho, chọn ra năm chữ số đôi một khác nhau; – Bước 2: Với năm chữ số lấy được ở bước 1, viết liên tiếp chúng (từ trái qua phải) theo thứ tự tăng dần. Vì có Có cách thực hiện bước 1, và có một cách thực hiện bước 2, nên theo quy tắc nhân, số số lập được bằng C.1 = C. Chọn đáp án B. + Cách 2. Do từ năm chữ số đôi một khác nhau chỉ có thể lập được đúng một số có năm chữ số, mà trong số ấy các chữ số tăng dần từ trái qua phải, nên số số lập được thỏa mãn yêu cầu của câu hỏi bằng số cách chọn ra năm chữ số đồi một khác nhau từ các chữ số đã cho. Do đó, số số lập được bằng số tổ hợp chập 5 của 7 chữ số đã cho. Chọn đáp án B. 5.7. Ví dụ 7. Có bao nhiêu cách chọn ra cùng lúc hai số, có tổng là một số chẵn, từ 21 số nguyên dương đầu tiên? A. 210 cách. B. 420 cách. C. 100 cách. D. 110 cách. , Hướng dẫn giải: Có hai cách lập luận để tìm ra câu trả lời cho câu hỏi trên. + Cách 1. Vì tổng của hai số nguyên dương là một số chẵn khi và chỉ khi hai số ấy có cùng tính chẵn lẻ (nghĩa là, cả hai số ấy cùng là số chẵn, hoặc cùng là số lẻ), nên suy ra có thể thực hiện việc chọn ra hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài theo hai phương án sau: – Phương án 1: Chọn ra hai số từ các số chẵn trong phạm vi 21 số nguyên dương đầu tiên; – Phương án 2: Chọn ra hai số từ các số lẻ trong phạm vi 21 số nguyên dương đầu tiên. – Trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 10 số chẵn và 11 số lẻ, nên có Có cách thực hiện phương án 1, và có cả cách thực hiện phương án 2. Do đó, theo quy tắc cộng, số cách chọn ra hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài bằng C + C. Chọn đáp án C. + Cách 2. Vì tổng của hai số nguyên dương tùy ý hoặc là số chẵn, hoặc là số lẻ, nên số cách chọn ra hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài bằng số cách chọn ra hai số từ 21 số nguyên dương đầu tiên trừ đi số cách chọn ra hai số, có tổng là một số lẻ, từ 21 số nguyên dương đầu tiên. .. Có C, cách chọn ra hai số từ 21 số nguyên dương đầu tiên. – Tiếp theo, ta tính số cách chọn ra hai số, có tổng là một số lẻ, từ 21 số nguyên dương đầu tiên. | Vì tổng của hai số nguyên dương là một số lẻ khi và chỉ khi trong hai số ấy, có một số chẵn và một số lẻ, nên việc “chọn ra hai số, có tổng là một số lẻ” có thể được hoàn thành bằng cách thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Chọn ra một số từ các số chẵn trong phạm vi 21 số nguyên dương đầu tiên; . – Bước 2: Chọn ra một số từ các số lẻ trong phạm vi 21 số nguyên dương đầu tiên. | Trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 10 số chẵn và 11 số lẻ, nên có co cách thực hiện bước 1 và có C, cách thực hiện bước 2. Do đó, theo quy tắc nhân, số cách chọn ra hai số có tổng là một số lẻ bằng Co.C. | Từ đó, số cách chọn ra hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài bằng C – CoC. Chọn đáp án C. Lưu ý 2. Trong n số nguyên dương đầu tiên có in và 1. sô –H]-[° 2 !) só të ([x] kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực x.) 5.8. Ví dụ 8. Có bao nhiêu cách chọn ra cùng lúc ba số, có tổng là một số chia hết cho 3, từ 22 số nguyên dương đầu tiên? A. 35 cách. B. 126 cách. C. 148 cách. D. 518 cách. .. Hướng dẫn giải: Vì tổng của ba số nguyên dương chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả ba số ấy có cùng số dư trong phép chia cho 3 (chia hết cho 3 được coi là OXU. chia 3 dư 0), hoặc trong ba số ấy có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1 và số còn lại chia 3 dư 2, nên suy ra có thể thực hiện việc chọn ra ba số thỏa mãn yêu cầu đã đặt ra bằng cách: từ 22 số nguyên dương đầu tiên, chọn ra ba số theo bốn phương án sau: – Phương án 1: Chọn ra cùng lúc ba số từ các số chia hết cho 3; – Phương án 2: Chọn ra cùng lúc ba số từ các số chia 3 dư 1; – Phương án 3: Chọn ra cùng lúc ba số từ các số chia 3 dư 2; – Phương án 4: Lần lượt chọn ra ba số, gồm một số được chọn ra từ các số chia hết cho 3, một số được chọn ra từ các số chia 3 dư 1, và một số được chọn ra từ các số chia 3 dư 2. • Vi trong 22 số nguyên dương đầu tiên có 3 =1 số chia hết cho 3, [22 + 3178 số chia 3 dư 1, và [22+3 – 2 =1 số chia 3 dư 2, nên có 3 ] C cách thực hiện phương án 1, C cách thực hiện phương án 2, và C cách thực hiện phương án 3. • Xét phương án 4. Để thực hiện phương án này, cần thực hiện liên tiếp ba bước sau: – Bước 1: Chọn ra một số từ các số chia hết cho 3; . – Bước 2: Chọn ra một số từ các số chia 3 dư 1; – Bước 3: Chọn ra một số từ các số chia 3 dư 2. Vì có 7 số chia hết cho 3, 8 số chia 3 dư 1, và 7 số chia 3 dư 2, nên có c cách thực hiện bước 1, C, cách thực hiện bước 2 và C, cách thực hiện bước 3. Do đó, theo quy tắc nhân, có ccc, cách thực hiện phương án 4. • Từ đó, theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn ra ba số thỏa mãn yêu cầu đã đặt ra bằng C + C + C + C.c.C = 2C + C + C.(c) (cách). Chọn đáp án D. Lưu ý 3. Cho n, m, n là các số nguyên dương, với 1<r< m và 25 m < n. Khi đó, trong n số nguyên dương đầu tiên có "+"=số chia m dư r. (Số chia hết cho m được coi là số chia m dư m.) n + m – m Đặc biệt, với r = m, ta có nghĩa là, trong n số nguyên L m dương đầu tiên, có 2 số chia hết cho m. 5.9. Ví dụ 9. Cho một hộp chứa 6 viên bị đỏ, 7 viên bị xanh, và 9 viên bị vàng. Biết rằng, không có hai viên bi cùng màu giống hệt nhau. Số cách lấy ra cùng lúc ba viên bị từ hộp đó, sao cho trong ba viên bị được lấy ra có đúng hai viên cùng màu, bằng A. 1162. B. 1401. C. 1540… : D. 1023. Hướng dẫn giải: Để tiện cho việc diễn đạt, ta gọi các viên bị có cùng màu là các viên bị cùng “loại”. | Việc lấy ra 3 viên bị thoả mãn yêu cầu đề bài có thể được thực hiện theo ba phương án sau: – Phương án 1: Lấy ra 2 viên bị từ các viên bị màu đỏ, rồi lấy thêm 1 viên từ các viên bi thuộc hai loại còn lại. – Phương án 2: Lấy ra 2 viên bị từ các viên bị màu xanh, rồi lấy thêm 1 viên từ các viên bi thuộc hai loại còn lại. – Phương án 3: Lấy ra 2 viên bị từ các viên bi màu vàng, rồi lấy thêm 1 viên từ các viên bi thuộc hai loại còn lại. • Xét phương án 1. Để thực hiện phương án này, cần thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Chọn ra 2 viên bị từ 6 viên bi đỏ; – Bước 2: Chọn ra một viên bị từ 7+ 9 = 16 viên bị có màu xanh hoặc vàng. Có Ccách thực hiện bước 1 và có có cách thực hiện bước 2. Do đó, theo quy tắc nhân, có CC, cách thực hiện phương án 1. • Bằng cách hoàn toàn tương tự, sẽ thấy, có Cộc cách thực hiện phương án 2, và có CB.CN cách thực hiện phương án 3. Từ đó, theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 3 viên bị thoả mãn yêu cầu đề bài bằng CC + CC + CC (cách). Chọn đáp án D. 5.10. Ví dụ 10. Hệ số của xo trong khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của (3x – 2) bằng A. 15 120. B. –15 120. C. -22 680. D. 22 680. 201 16 2 7. 1 15 Hướng dẫn giải: Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có: (3x – 2)? = EC%.(3x)?-*.(-2)*. k = 0) | Do đó, hệ số của x là C.3*(-2). Chọn đáp án C. 5.11. Ví dụ 11 (Câu 34, mã đề 102, đề thi THPTQG 2018). Hệ số của x trong khai triển thành đa thức của x(3x – 1)^ + (2x – 1)* bằng A. -3007. B. -577. C. 3007. D. 577. | Hướng dẫn giải: Dễ thấy, hệ số của x trong khai triển nêu trong đề bài bằng hệ số của xo trong khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của (3x – 1)^ cộng với hệ số của x trong khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của (2x – 1)^. Do đó, hệ số của x trong khai triển nêu trong đề bài bằng CZ.34.(-1) + C3.2°.(-1). Chọn đáp án B. 5.12. Ví dụ 12. Hệ số của xo trong khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn 12 của ( 1 ) bằng A. 66. B. 924. Hướng dẫn giải: Ta có: C. 132. D. 220. 12 – k (Vos + 4)*-£c:(*)***-3CM k=0 k =0 Từ đó, vì 6 -1 = 3 khi và chỉ khi k = 2 nên hệ số của x trong khai triển nêu trên bằng C. Chọn đáp án A… 5.13. Ví dụ 13. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương thuộc đoạn [1; 111]. Xác suất để số chọn được là một số chia hết cho 7 bằng 16 c. 13. 14 A. 32 B. 111 .. D. IT Hướng dẫn giải: Gọi A là biến cố “số chọn được là một số chia hết cho 3. * Vì kết quả xảy ra khi thực hiện phép chọn là một số nguyên dương thuộc đoạn [1; 111] nên không gian mẫu 2 là tập hợp 111 số nguyên dương đầu tiên. Do đó, n(2) = 111. Vì số nguyên dương chọn được là một kết quả thuận lợi cho biến cố A khi và chỉ khi nó chia hết cho 7, nên 2 = {a 6 2|a:7}. Do đó, theo Lưu ý 3, ta có: n(2.) – [1,] = 15. . . . . . 193 192 c. 26 D. 325 Vì thế P A) _"(+/A) – 10 | Chọn đáp án C. Chọn đáp án C. n(2) 111 | 5.14. Ví dụ 14. Một túi đựng bị có 7 viên bi xanh và 19 viên bi đỏ. Lấy ra ngẫu nhiên cùng lúc 2 viên bị từ túi bị đó. Biết rằng, không có hai viên bị cùng màu giống hệt nhau. Xác suất để hai viên bị lấy ra có cùng màu bằng 299 325 325 . 32 Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “hai viên bị lấy ra có cùng màu”. Vì kết quả xảy ra khi thực hiện việc lấy bị là một nhóm hai viên bị khác nhau (về kích cỡ, hoặc màu sắc), trong số 7 + 19 = 26 viên bị của túi, nên không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm hai viên bị khác nhau có thể tạo được từ 26 viên bị đó, tức là tập hợp tất cả các tổ hợp chập 2 của 26 viên bị của túi. Do đó, n(2) = C26 Tiếp theo, có thể làm theo một trong ba cách sau: + Cách 1. Vì hai viên bị lấy được là một kết quả thuận lợi cho biến cố x khi và chỉ khi chúng có cùng màu, nên 2 là tập hợp tất cả các nhóm gồm hai viên bị cùng màu. Do đó, n(2x) = C + C (tham khảo hướng dẫn giải Ví dụ 4). , Vì thế, P(X) = n(2) C + C n(12) C26 . + Cách 2. Xét biến cố đối X của X: X: “Hai viên bị lấy ra khác màu nhau”. Vì hai viên bị lấy được là một kết quả thuận lợi cho biến cố X khi và chỉ khi chúng khác màu nhau nên 2, là tập hợp tất cả các nhóm gồm hai viên bị khác màu (một viên có màu xanh và viên còn lại có màu đỏ). Do đó, n(a)= C, C. | Vì thế, ta có: PAX) = 1 – P(7) = + 10) –COMO sau: • Cách 3. Nhận thấy, X là hợp của hai biến cố xung khắc sau: – Biến cố A: “hai viên bị lấy ra cùng có màu xanh”; – Biến cố B: “hai viên bị lấy ra cùng có màu đỏ”. Vì hai viên bị lấy được là một kết quả thuận lợi cho biến cố 4 khi và chỉ khi chúng cũng có màu xanh nên 2, là tập hợp tất cả các nhóm gồm hai viên bị trong số 7 viên bị màu xanh. Do đó, n(2) = C. Vì hai viên bị lấy được là một kết quả thuận lợi cho biến cố B khi và chỉ khi chúng cũng có màu đỏ nên 2, là tập hợp tất cả các nhóm gồm hai viên bị trong số 19 viên bi màu đỏ. Do đó, n(22) = C. Vì thế, theo quy tắc cộng xác suất, ta có: c? c? P(X) = P(A) + POB) = n(2), n(3) = n(9) + n(Q) – Co Co | Chọn đáp án B. 5.15. Ví dụ 15. Cho hai hộp bi, một hộp có 19 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ, hộp còn lại có 7 viên bị xanh và 12 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Biết rằng, không có hai viên bi cùng màu giống hệt nhau. Khi đó, xác suất để hai viên bị được lấy ra có cùng màu bằng B. 1197 D. 125 12 133 Hướng dẫn giải: Gọi hộp có 19 viên bị xanh và 2 viên bị đỏ là hộp I và gọi hộp còn lại là hộp II. Gọi x là biến cố “hai viên bị được lấy ra có cùng màu”. Vì kết quả xảy ra khi thực hiện việc lấy bị là một đội bi, gồm một viên của hộp I và một viên của hộp II nên không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các đội bị có thể tạo ra, mà mỗi đội đều gồm một viên của hộp I và một viên của hộp II. Vì hộp II có 7 + 12 = 19 viên bị nên với mỗi viên bị của hộp I, có thể tạo ra 19 đội bị thỏa mãn điều kiện vừa nêu. Mà hộp I có 19 + 2 = 21 viên bi nên sẽ tạo ra được 21.19 đổi bị thỏa mãn điều kiện đó; nghĩa là, ta có n(2) = 21.19. Dễ thấy, hai viên bị được lấy ra có cùng màu khi và chỉ khi cả hai viên bi ấy đều có màu xanh. Do đó, X là giao của hai biến cố A, B sau: – Biến cố 4: “Trong đôi bị được lấy ra, viên bị của hộp I có màu xanh” (hay còn có thể nói tắt là “viên bị được lấy ra từ hộp I có màu xanh”); – Biến cố B: “Trong đôi bị được lấy ra, viên bị của hộp II có màu xanh” (hay còn có thể nói tắt là “viên bị được lấy ra từ hộp II có màu xanh”). – Vì hai hộp bị độc lập với nhau và việc lấy bị ở mỗi hộp là hoàn toàn ngẫu nhiên nên A và B là hai biến cố độc lập. Vì thế, theo quy tắc nhân xác suất, ta có: P(X) = P(AB) = P(A).P(B). Từ định nghĩa biến cố A, ta có, 2, là tập hợp tất cả các đôi bị có thể tạo ra từ hai hộp bị (mỗi hộp lấy một viên), mà viên bị của hộp I có màu xanh. Do đó, bằng lập luận tương tự như khi tính n(2), ta có n(2) = 19.19. Bằng cách hoàn toàn tương tự, ta được n(2) = 7.21. Vì thế n(92) 19.19 _ 19. P(A) = a = 21.19 21 (2) 19 7 1 —-………… . 121 ……… C. 529 D. 529 … . P(B) = n(2), 7.217 13.15 (3) n(2) 21.1919 Thế (2) và (3) vào (1), ta được: P(X) = = Chọn đáp án A. 5.16. Ví dụ 16. Hai bạn Xuân và Hạ, độc lập với nhau, mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 23]. Xác suất để tổng hai số được viết là một số chẵn bằng B. 132 121 A. 253 B. 253 Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “tổng hai số được viết chia hết cho 2”. Vì kết quả xảy ra khi thực hiện việc viết số là một cặp có thứ tự hai số tự nhiên (a, b), với a c [1; 23] và b c [1; 23] (số đầu tiên trong cặp (số a) phải là số Xuân viết, và số thứ hai trong cặp (số 6) phải là số Hạ viết), nên không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự hai số tự nhiên (a, b) có thể tạo ra được từ các số tự nhiên thuộc đoạn [1; 23]. Để tạo được một cặp số như thế, cần thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Viết một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 23]; – Bước 2: Không phụ thuộc số đã viết ở bước 1, viết thêm một số tự nhiên nữa, cũng thuộc đoạn [1; 23]. Rõ ràng, có 23 cách thực hiện bước 1, và cũng có 23 cách thực hiện bước 2. Do đó, theo quy tắc nhân, số tất cả các cặp số được tạo ra bằng 23°; nghĩa là, ta có n(2) = 23. Dưới đây, “cặp có thứ tự hai số tự nhiên” được gọi tắt là “cặp số”. I Do tổng hai số nguyên dương là một số chẵn khi và chỉ khi hai số ấy có cùng tính chẵn lẻ nên biến cố X là hợp của hai biến cố xung khắc sau: – Biến cố A: “Cặp số được viết ra gồm hai số chẵn”; – Biến cố B: “Cặp số được viết ra gồm hai số lẻ”. " Do đó, P(X) = P(A – B) = P(A) + P(B). (1) Từ định nghĩa biến cố A, ta có 2, là tập hợp tất cả các cặp số (a, b) được tạo ra từ các số chẵn thuộc đoạn [1; 23]. Do trong 23 số nguyên dương đầu tiên, có |2| = 11 số chẵn (theo Lưu ý 2), nên bằng cách lập luận tương tự trên (khi tính [2] n(2)), ta được n(2) = 11. Cũng như thế, do trong 23 số nguyên dương đầu tiên có 23 – 11 = 12 số lẻ, nên n(22) = 12. vì thế PA) = 2) P(B) = 3 = 0) 112 ** Thế (2) và (3) vào (1), ta được: P(X) =. : 208 : : C. Tas 625 Chọn đáp án D. Lưu ý 4. Bạn đọc hãy so sánh tình huống đặt ra ở Ví dụ 7 và tình huống đặt ra ở Ví dụ 16. 5.17. Ví dụ 17. Hai bạn Luyện và Thi, độc lập với nhau, mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 25]. Xác suất để tổng hai số được viết là một số chia hết cho 3 bằng 136 A. 5. B. ' D. 2015 – Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “tổng hai số được viết chia hết cho 3”. Tương tự như ở Ví dụ 16, ta có không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự hai số tự nhiên (a, b) có thể tạo ra được từ các số tự nhiên thuộc đoạn [1;25], và n(2) = 25”. | Dưới đây, “cặp có thứ tự hai số tự nhiên” được gọi tắt là “cặp số”. Do tổng hai số nguyên dương là một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả hai số ấy cùng chia hết cho 3, hoặc trong hai số ấy có một số chia 3 dư 1 và số còn lại chia 3 dư 2, nên biến cố X là hợp của hai biến cố xung khắc sau: V – Biến cố A: “Cặp số được viết ra gồm hai số chia hết cho 3.”; | – Biến cố B: “Cặp số được viết ra gồm một số chia 3 dư 1 và một số chia 3 du 2.” Do đó, P(X) = P(AU B) = P(A) + P(B). Từ định nghĩa biến cố A, ta có 2, là tập hợp tất cả các cặp số (a, b) được tạo ra từ các số tự nhiên chia hết cho 3 thuộc đoạn [1; 25]. Do trong 25 số nguyên dương đầu tiên có 4 = 8 số chia hết cho 3 (theo Lưu ý 3), nên n(21) = 8. Kí hiệu T là tập hợp các số nguyên dương chia 3 dư 1 thuộc đoạn [1; 25], và T, là tập hợp các số nguyên dương chia 3 dư 2 thuộc đoạn đó. Từ định nghĩa biến cố B, ta có, 2, là tập hợp tất cả các cặp số (a, b), mà trong hai số a, b, có một số thuộc T và số còn lại thuộc Tp. Có thể tạo ra một cặp số như thế bằng cách thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Lấy ra cùng lúc hai số, gồm một số được lấy ra từ tập 1 và một số được lấy ra từ tập T.; – Bước 2: Sắp xếp hai số đã lấy ra ở bước 1 theo một thứ tự nào đó. Do tập 7, có 25- 1 = 9 số, và tập 7, có hộ 21 = 8 số (theo 8 L 3 Lưu ý 3), nên có 9.8 cách thực hiện bước 1. | Do hai số được lấy ra ở bước 1 là hai số khác nhau (vì không có số nào vừa chia 3 dư 1, vừa chia 3 dư 2), nên có 2! cách thực hiện bước 2. Do đó, theo quy tắc nhân, số tất cả các cặp số được tạo ra bằng 9.8.2!; nghĩa là, ta có n(2) = 9.8.2!. Từ các kết quả tính n(2) và (2), ta có: 82 P(A) = n(2) n(92) = 2523: (2) P(B) = n(2) – 9.8.2! = n(2) 252 (3) 1) ta được: P(X) = – 82 9.8.2! 208 Thế (2) và (3) vào (1), ta được: P(X) = 82 898 292 252 625 . .. : Chọn đáp án D. 2539 5.18. Ví dụ 18 (Câu 43, mã đề 102, đề thi THPTQG 2018). Ba bạn Xuân, Hạ, Thu, mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;19]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng 1027 2287 109. 6859 ". P. 6859 – 6859 323 (So với câu 43 của đề thi, tên nhân vật đã được thay đổi.) Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “tổng ba số được viết ra chia hết cho 3”. Vì kết quả xảy ra khi thực hiện việc viết số là một bộ có thứ tự ba số tự nhiên (a, b, c), với a c [1; 19], b c [1; 19] và c < [1; 19] (số đầu tiên trong bộ (số a) phải là số Xuân viết, số thứ hai trong bộ (số 6) phải là số Hạ viết và số thứ ba trong bộ (số c) phải là số Thu viết), nên không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự ba số tự nhiên (a, b, c) có thể tạo ra được từ các số tự nhiên thuộc đoạn [1; 19]. Bằng các lập luận tương tự như ở hướng dẫn giải của Ví dụ 16, ta có n(12) = 19 Dưới đây, “bộ có thứ tự ba số tự nhiên” được gọi tắt là “bộ ba số”. Do tổng ba số nguyên dương chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả ba số ấy có cùng số dư trong phép chia cho 3 (chia hết cho 3 được coi là chia 3 dư 0), hoặc trong ba số ấy, có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1 và số còn lại chia 3 dư 2, nên biến cố X là hợp của hai biến cố xung khắc sau: – Biến cố A: “Bộ ba số được viết ra gồm ba số có cùng số dư trong phép chia cho 3”; – Biến cố B: “Bộ ba số được viết ra gồm một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1, và một số chia 3 dư 2”. | Do đó, P(X) = P(AU B) = P(A) + P(B). (1) Kí hiệu T, T, T, tương ứng là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3, tập hợp các số tự nhiên chia 3 dư 1, tập hợp các số tự nhiên chia 3 dư 2, thuộc đoạn [1; 19]. – Có thể tạo ra một bộ ba số gồm ba số tự nhiên thuộc đoạn [1; 19] và có cùng số dư trong phép chia cho 3, theo ba phương án sau: – Phương án 1: Lập bộ ba số từ các số thuộc T.; – Phương án 2: Lập bộ ba số từ các số thuộc T; – Phương án 3: Lập bộ ba số từ các số thuộc T, Do tập 7, có [9]- 6 số, tập 7, có (1943-11-7 số, và tập 7, có [ 19 + 3-21 – 3 6 số, nên có 6 cách thực hiện phương án 1, 7 cách thực hiện phương án 2, và 6 cách thực hiện phương án 3. Vì thế, theo quy tắc cộng, ta có n(24) = 6° + 7 + 6° = 2.6° + 73. . Từ định nghĩa biến cố B, ta có 2, là tập hợp tất cả các bộ ba số (a, b, c), mà trong ba số a, b, c, có một số thuộc T., một số thuộc T, và một số thuộc T. Bằng các lập luận tương tự như khi tính n(29) ở Ví dụ 17, ta có n(33) = 6.7.6.3! Vì thế P(A) = (-2) = 2.6 + 7; (2) . . 193 103 + PIB) = n(123) – 6-.7.3! (3) n(12) Thế (2) và (3) vào (1), ta được: P(X) = 2.6° + 7.6.7.3! _ 2287 19319376859 Chọn đáp án C. Lưu ý 5. Bạn đọc hãy so sánh tình huống đặt ra ở Vi dụ 8 và tình huống đặt ra ở Vi dụ 18. 5.19. Ví dụ 19 (Câu 43, mã đề 103, đề thi THPTQG 2020). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cũng chẵn bằng 9 A 35 . B. . C. D. Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “số chọn được không có hai chữ số liên tiếp nào cũng chẵn”. Hiển nhiên, không gian mẫu 2 là tập S; do đó n(2) = n(S) = A. Kí hiệu T là tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Dễ thấy, nếu một số có bốn chữ số có ít nhất ba chữ số chẵn thì chắc chắn trong số đó sẽ có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau. Do đó, một số có bốn chữ số không có hai chữ số liên tiếp nào cũng là chữ số chẵn khi và chỉ khi số đó có tối đa một chữ số chẵn, hoặc có đúng hai chữ số chẵn và hai chữ số này không đứng cạnh nhau trong số. Điều này cho thấy, X là hợp của hai biến cố xung khắc sau: – Biến cố A: “Số chọn được có tối đa một chữ số chẵn”; – Biến cố B: “Số chọn được có đúng hai chữ số chẵn và hai chữ số này không đứng cạnh nhau trong số”. Do đó, P(X) = P(A) B) = P(A) + P(B). (1) • Xét biến cố 4: Ta có, 2, là tập tất cả các số có bốn chữ số đôi một khác nhau, lập được từ bốn chữ số đôi một khác nhau thuộc T, mà trong bốn chữ số đó, có tối đa một chữ số chẵn. Có thể lập được một số như thế theo hai phương án sau: – Phương án 1: Lập số có bốn chữ số đôi một khác nhau từ bốn chữ số lẻ đôi một khác nhau thuộc T; | – Phương án 2: Lập số có bốn chữ số đôi một khác nhau từ ba chữ số lẻ đôi một khác nhau và một chữ số chẵn thuộc T. Do trong tập T có đúng bốn chữ số lẻ đôi một khác nhau nên có 4! cách thực hiện phương án 1. (2) | Để lập được một số theo phương án 2, cần thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Lấy ra từ tập T một chữ số chẵn và ba chữ số lẻ đôi một khác nhau; – Bước 2: Lập số có bốn chữ số đội một khác nhau từ các chữ số đã lấy được bước 1. | Do trong tập 1 có 3 chữ số chẵn đổi một khác nhau và 4 chữ số lẻ đôi một khác nhau, nên có 3C cách thực hiện bước 1. | Do 4 chữ số lấy được ở bước 1 đôi một khác nhau nên có 4! cách thực hiện bước 2. | Do đó, theo quy tắc nhân, có 3C.4! = 12.4! cách thực hiện phương án 2 (3) Từ (2) và (3), theo quy tắc cộng, ta có: n(2) = 4! + 12.4!= 13.4!. Vì thế, P(A) = n(24) 13.4! n(92) AM • Xét biến cố B: Ta có, 2, là tập tất cả các số có bốn chữ số đôi một khác nhau, lập được từ hai chữ số lẻ khác nhau và hai chữ số chẵn khác nhau thuộc T, sao cho trong mỗi số, hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau. Để lập được một số như thế, cần thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Lấy ra từ tập T hai chữ số chẵn khác nhau và hai chữ số lẻ khác nhau; – Bước 2: Lập số có bốn chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số đã lấy được bước 1, sao cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau. Do trong tập T có ba chữ số chẵn đôi một khác nhau và bốn chữ số lẻ đôi một khác nhau, nên có CC cách thực hiện bước 1. (5) Để thực hiện bước 2, ta cần xếp bốn chữ số lấy được ở bước 1 vào bốn vị trí nằm theo một hàng ngang, sao cho hai chữ số chẵn được xếp vào các vị trí 1 và 3, hoặc 1 và 4, hoặc 2 và 4 thứ tự của các vị trí được tính từ trái qua phải). Với mỗi cặp vị trí, trong ba cặp vừa nêu, có 2! cách xếp hai chữ số chẵn vào hai vị trí của cặp đó; và với mỗi cách xếp hai chữ số chẵn vào hai vị trí thích hợp, có 2! cách xếp hai chữ số lẻ vào hai vị trí còn lại. Vì thế, có tất cả 3.2!.2! cách thực hiện bước 2. (6) Từ (1) và (6), theo quy tắc nhân, ta có: n(2) = C.C.3.2!.2! = 9.4!. Do đó, P(B) = n(%) n(12) 9.4! As ( • Thế (4) và (7) vào (1), ta được: 13.4! 9.41 22.4! P(X) = 13.4! – 24- 23.6.4 – 23 P(X) Chọn đáp án C. II. C U HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số đôi một khác nhau? A. 40 320 số. B. 5040 số. C. 87 số. D. 7 số. 2. (Câu 1, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018). Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm có 34 học sinh? B. A. : C: 342. D. C. 3. Có bao nhiêu cách chọn ra ba học sinh từ một lớp học có 12 học sinh nam và | 25 học sinh nữ? A. 7770 cách. B. 46 620 cách. C. 2520 cách. D. 15 120 cách. 4. (Câu 5, mã đề 103, đề thi THPTQG 2018). Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? A. CZ. B. 2?. C. 72. na D. A. : A. 234 4 5. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số? | A. A số. B. Aa số. C. 9.10* số. D. 10 số. 6. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số mà trong mỗi số, các chữ số đôi một khác nhau? A. Asố. B. 10? số. . C. 9.10ʻsố. D. 9.A só. 7. Từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8 có thể lập được tất cả bao nhiêu số chia hết cho 5, và mỗi số đều có năm chữ số? A. 2.A; số. B. 2.A; số. C. 6.7% số. . D. 12.7 số. 8. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, mà mỗi số đều có tổng các chữ số bằng 7? A. 18 số. B. 19 số. C. 24 số. D. 25 số. 9. Một lớp học có 22 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Số cách chọn ra năm học sinh từ lớp đó, sao cho trong năm học sinh được chọn ra có đúng hai học sinh nữ bằng A. 161 700. B. 1645. C. 9450. D. 1540. 10. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 6, 8, lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau, mà trong mỗi số có đúng một chữ số lẻ? A. 528 số. B. 144 số. C. 192 số. D. 288 số. 11. Một lớp học có 17 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra năm học sinh từ lớp đó, sao cho trong năm học sinh được chọn ra có ít nhất hai học sinh nữ?. A. 37 128 cách. B. 111 566 cách. C. 133 938 cách. D. 105 378 cách. 12. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, mà trong mỗi số có ít nhất một chữ số chẵn? A. 660 số. B. 588 số. C. 638 số. D. 669 số. 13. Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 7 viên bị xanh và 9 viên bị vàng. Biết rằng, không có hai viên bị cùng màu giống hệt nhau. Số cách lấy ra cùng lúc ba viên bị từ | hộp đó, sao cho trong ba viên bị được lấy ra có ít nhất hai viên cùng màu bằng A. 886. B. 1144. C. 109. D. 1015. 14. Hệ số của xo trong khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của (2x – 3) bằng A. –1344. B. 1344. C. 21. – D.21. 15. (Câu 28, mã đề 101, đề thi THPTQG 2018). Hệ số của x trong khai triển thành đa thức của x(2x – 1)° + (3x – 1)* bằng A. -13 368. B. 13 368. C. -13 848. D. 13 848. 16. Số hạng không chứa x trong khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của A. 1. B. 924. C. 495. D. 12. 17. Hệ số của xo trong khai triển thành đa thức của biểu thức (1 – x + x)" bằng A. 210. B. –210. 3. C. 30. D. -30. | 18. Hệ số của x trong khai triển thành đa thức của biểu thức (1 – 2x + x)^ bằng A. -580 710. B. 580 710. C. 586 170. D. -586 170. 19. Kí hiệu S là tập hợp tất cả các số có bốn chữ số có thể lập được từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Xác suất để số chọn được có bốn chữ số đôi một khác nhau bằng A. C. 45 432 512 20. Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 6 viên bị xanh và 7 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ba viên bi. Biết rằng, không có hai viên bị cùng màu giống hệt | nhau. Xác suất để trong ba viên bi lấy ra, có đúng hai viên cùng màu bằng 541 41 671 101 . 136 21. Bạn Hà viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số Hà viết có tổng các chữ số bằng 7 bằng 671 A. 816 B . D. 4o. C. 816 19 A. 648 b . D. 50 36 Α. B. 1520 C. 4851 D. 3160 22. Chọn ngẫu nhiên, cùng một lúc, hai số tự nhiên thuộc đoạn [1; 99]. Xác suất để tích hai số chọn được chia hết cho 5 bằng 4490 1691 4851 6. 4851 • 4851 23. Kí hiệu S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đội một khác nhau, có thể lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 6, 8. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Xác suất để trong số chọn được, có ít nhất một chữ số lẻ bằng – 8 hano 15 24. Một lớp Cao học có 10 học viên nam và 7 học viên nữ. Chọn ngẫu nhiên bốn | học viên của lớp đó. Xác suất để trong bốn học viên chọn được, có ít nhất hai | học viên nữ bằng 27 c. 25. Kí hiệu S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau có | thể lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Xác suất để trong số chọn được, chữ số 2 và chữ số 3 không đứng cạnh nhau bằng A . B. 34 68 17 : 34 A. B. : D. 3 27877 A 3 33 A * 68 – Một lớp học có 40 học sinh. Trong lớp, có 21 học sinh học giỏi Toán, 16 học sinh học giỏi Văn, và 10 học sinh không học giỏi môn nào trong hai môn Văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên năm học sinh của lớp đó. Xác suất để trong năm học sinh chọn được, có ít nhất một học sinh vừa học giỏi Văn, vừa học giỏi Toán, bằng 19889 17 528 45 235 A. 27 417 D. 73112 27 417 73112 27. Một hộp chứa 5 viên bị xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó bốn viên bi. Biết rằng, không có hai viên bi cùng màu giống hệt nhau. Xác suất để bốn viên bị lấy ra chỉ có tối đa hai màu bằng . 65 B. . B. — C. 68 D. A 28. Chọn ngẫu nhiên, cùng một lúc, hai số tự nhiên thuộc đoạn [1; 22]. Xác suất để tổng hai số chọn được là một số không chia hết cho 3 bằng A. = B. D. . 29. Kí hiệu S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đội một khác nhau có thể lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 9. Chọn ngẫu nhiên, cùng một lúc, hai số thuộc S. Xác suất để trong hai số chọn được, có ít nhất một số lớn hơn 2021 bằng 64 523 18361 P. 64 740 22 425 14 950 * 30. Hai bạn Xuân và Thu, độc lập với nhau, mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 99]. Xác suất để tích hai số được viết ra chia hết cho 5 bằng 1691 4490 3401 B. 4851 9801 9801 9801 2 c5 C. 11 1436 Α. D. 14299 1520 A. 31. Có 16 đội tuyển quốc gia, trong đó có đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái | Lan, tham gia một giải thi đấu bóng đá Đông Nam Á mở rộng. Các đội được chia một cách ngẫu nhiên thành 4 bảng, mỗi bảng có 4 đội. Xác suất để đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan nằm khác bảng nhau bằng 19 A. 1. – 20 B.. C. 20 D. 32. Một hộp chứa 7 viên bị xanh, 6 viên bị đỏ và 5 viên bị vàng. Lấy ra ngẫu nhiên từ hộp đó 4 viên bi. Biết rằng, không có hai viên bị cùng màu giống hệt nhau. Xác suất để bốn viên bi được lấy ra có đúng hai màu bằng 33 23 A Cls D. 143 Són 68 B.68 . 306 33. Kí hiệu S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau có thể lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 9. Chọn ngẫu nhiên, cùng một lúc, hai số thuộc S. Xác suất để cả hai số chọn được đều lớn hơn 2021 bằng c 1015 : 817 1495 C. 2007 38 844 956 4661 … 1015 A A. 7475 B. 956 32 370 Đáp án 1. Gợi ý. Mỗi số lập được là một hoán vị của 7 chữ số đã cho. 2. Gợi ý. Xem Lưu ý 1 ở phần I trên đây. 3. Gợi ý. Mỗi cách chọn theo yêu cầu đề bài là một cách chọn ra 3 học sinh từ 12 + 25 = 37 học sinh. 4. Gợi ý. Xem hướng dẫn giải Ví dụ 2 phần I. 5. Hướng dẫn giải: Để lập được một số tự nhiên có năm chữ số, cần thay mỗi | chữ cái trong dãy xyzuv bởi một chữ số; nghĩa là, cần thực hiện liên tiếp năm bước sau: . .) – Bước 1: Thay x bởi một chữ số; {{-} . – Bước 2: Thay y bởi một chữ số; } Ho y . .. . , – Bước 4: Thay u bởi một chữ số; – Bước 5: Thay v bởi một chữ số. Vì chữ số đầu tiên của số phải khác 0 nên có 9 cách thực hiện bước 1. – Vì không có ràng buộc gì đối với chữ số được dùng để thay cho các chữ Y, Z, u, v nên có 10 cách thực hiện mỗi bước 2, 3, 4, 5. Vì thế, theo quy tắc nhân, có tất cả 9.10* cách thực hiện liên tiếp năm bước nói trên, do đó, số các số tự nhiên có năm chữ số lập được bằng 9.10^. Lưu ý 6. Số các số tự nhiên có n chữ số (n + N^bằng 9.10^-. Gợi ý. Giải tương tự như ở hướng dẫn giải câu 5, với lưu ý, kể từ bước 2, chữ số được phép dùng ở môi bước phải khác các chữ số đã dùng ở tất cả các bước trước bước ấy. Lưu ý 7. Với n = N" và n 2, suy ra x chỉ có thể xuất hiện trong khai triển của các biểu thức C. (1 – x) và Co.(1 – x)^x (ứng với k = 0 và k = 1). Do đó, hệ số của x trong khai triển thành đa thức của P(x) bằng tổng các hệ số của x trong khai triển của hai biểu thức vừa nêu. Ta có: (1 – x)”= (-1.csx, (1 – 1)*°= {(-19.03* |-*=(-1*c**?. Suy ra: – Hệ số của x trong khai triển của C.(1 – x) ° là: C%(-1)^C% = -C%; – Hệ số của x trong khai triển của C.(1 – x)^x là: C..(-1)’C = -C.C. Vì vậy, hệ số của xo trong khai triển thành đa thức của P(x) là: -(Co+C.C) =-210. k =0 k =0 10 . 10″ 10 tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, s, là số các số tự nhiên có 18. Hướng dẫn giải: Đặt P(x) = (1 – 2x + x). Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn cho a=1-2x, b = x và n = 15, ta được: 1 P(x) = Ž C’s. (1 – 2x)is – * * 15 – k k =0 . Từ đó, do 3k >7 với mọi k23, suy ra x chỉ có thể xuất hiện trong khai triển của các biểu thức C.(1 – 2x)’, C’s (1 – 2x)^x và C (1 – 2x)^x° (ứng với k = 0, k = 1 và k = 2). Do đó, hệ số của x trong khai triển thành đa thức của P(x) bằng tổng các hệ số của xỉ trong khai triển của ba biểu thức vừa nêu. Ta có: Cs.x*, . k = 0 k = 0 + 3 (1 – 23* = -19 Cy(2) =Ě(-19.2°C”,x, – 1 – 2x) – £(4° C.(2x -Z-* * , , 1 – 23″*= (Ë -1°C(201)* = (-1*2*,*-. . k = 0 k=0 k (1 – 2 r13 ro > (-1) 1 k k k k +6 3.(2x) O 12. = 0 k = 0 13. . Suy ra: – – Hệ số của x trong khai triển của C..(1 – 2x)* là: C(-1).2C; . – Hệ số của xỉ trong khai triển của C. (1 – 2x)^x là: C (-1)^.2°C ; – Hệ số của x trong khai triển của C.(1 – 2x)^x là: C.(-1)’2’c. Tiếp theo, tính tổng của ba hệ số vừa nêu trên, sẽ được hệ số của x’ trong khai triển thành đa thức của P(x). | 19. Gợi ý. Gọi X là biến cố “số chọn được có bốn chữ số đôi một khác nhau”. – Hiển nhiên, không gian mẫu 2 là tập S. – Vì số chọn được là một kết quả thuận lợi cho 1 khi và chỉ khi các chữ số của nó đôi một khác nhau nên 2 là tập hợp tất cả các số có bốn chữ số đôi một khác nhau, lập được từ các chữ số đã cho. – Xem hướng dẫn giải câu 5, để tính n(2). – Xem hướng dẫn giải Ví dụ 2 phần I, để tính n(2). – Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất để tính P(X). 20. Gợi ý. Gọi X là biến cố “trong ba viên bị lấy ra, có đúng hai viên cùng màu”. – Vì kết quả xảy ra khi thực hiện phép lấy bị là một nhóm gồm ba viên bị của hộp bị, và mỗi nhóm gồm ba viên bị của hộp đó đều có thể là kết quả của phép lấy bị, nên không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm ba viên bị có thể tạo ra từ các viên bị của hộp. Do đó, n(C2) = C – – Vì ba viên bị lấy ra là một kết quả thuận lợi cho X khi và chỉ khi trong ba viên đó có đúng hai viên cùng màu, nên 2 là tập hợp tất cả các nhóm ba viên bi, được tạo ra từ các viên bị của hộp mà trong mỗi nhóm đều có hai | viên bị cùng màu. – Xem hướng dẫn giải Ví dụ 9 phần I, tính n(2). – Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất, tính P(X). 21. Gợi ý. Gọi X là biến cố “số Hà viết có tổng các chữ số bằng 7”. – Vì kết quả xảy ra khi thực hiện việc viết số là một số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, và mỗi số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau đều có thể là kết quả của việc viết số, nên không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. – L2, là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, mà . mỗi số đều có tổng các chữ số bằng 7. – Sử dụng Lưu ý 7, tính n(2). – Xem hướng dẫn giải câu 8, tính n(2). – Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất, tính P(X). 22. Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “tích hai số chọn được chia hết cho 5”. Vì kết quả xảy ra khi thực hiện phép chọn là một nhóm hai số tự nhiên thuộc đoạn [1; 99], và mỗi nhóm hai số tự nhiên nào thuộc đoạn [1; 99] đều có thể là kết quả của phép chọn, nên không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm hai số tự nhiên, có thể tạo ra từ các số tự nhiên thuộc đoạn [1; 99]. Do trong đoạn [1; 99] có 99 số tự nhiên nên n(2) = Cho . Tiếp theo, có thể giải bài ra theo một trong hai cách sau: • Cách 1 Vì 5 là số nguyên tố nên tích của hai số tự nhiên chia hết cho 5 khi và chỉ khi trong hai số đó, có ít nhất một số chia hết cho 5. Vì thế, một nhóm gồm hai số tự nhiên thuộc đoạn [1; 99] là một kết quả thuận lợi cho X khi và chỉ khi ít nhất một số thuộc nhóm ấy chia hết cho 5. Do đó, 2 là tập hợp tất cả các : nhóm gồm hai số tự nhiên thuộc đoạn [1; 99], mà trong mỗi nhóm đều có ít nhất một số chia hết cho 5. Gọi: – s là số nhóm gồm hai số tự nhiên thuộc đoạn [1; 99], mà trong mỗi nhóm đều có đúng một số chia hết cho 5; – s, là số nhóm gồm hai số tự nhiên chia hết cho 5 thuộc đoạn [1; 99]. Khi đó, hiển nhiên có: n(2x) = s + S . Ta có, s, chính bằng số cách chọn ra hai số, gồm một số chia hết cho 5 và một số không chia hết cho 5, từ 99 số nguyên dương đầu tiên (do 99 số tự nhiên thuộc đoạn [1; 99] là 99 số nguyên dương đầu tiên). Mà trong 99 số nguyên dương đầu tiên, có 1 19 số chia hết cho 5 (theo Lưu ý 3 phần I) và 99 – 19 = 80 số không chia hết cho 5, nên s = Coco (xem hướng dẫn giải Ví dụ 5 phần I). Vì có 19 số tự nhiên chia hết cho 5 thuộc đoạn [1; 99] nên s, = C. Do đó, n(24)= C Clo + C. Vì thế, P(X) = CoCo + C 2 + Cách 2 Xét biến cố đối X: “tích hai số chọn được không chia hết cho 5”. Vì 5 là số nguyên tố nên tích của hai số tự nhiên không chia hết cho 5 khi và chỉ khi cả hai số đó cùng không chia hết cho 5. Do đó, 2 là tập hợp tất cả các nhóm gồm hai số tự nhiên không chia hết cho 5 thuộc đoạn [1; 99]. Vì trong đoạn [1; 990 có 2 = 19 số chia hết cho 5, nên trong đoạn đó có 99 – 19 = 80 số tự nhiên không chia hết cho 5. Do đó, n(a)=Co. Vì thế P(X) =1 – P(X) = C, CO 23. Gợi ý. Gọi X là biến cố “trong số chọn được, có ít nhất một chữ số lẻ”. – Không gian mẫu 2 là tập S. – Xét biến cố đối X: “số chọn được chỉ gồm các chữ số chẵn”. 210 – 2 là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau, có | thể lập được từ các chữ số chẵn thuộc tập hợp {1; 2; 3; 4; 6; 8}. – Xem hướng dẫn giải Ví dụ 2 phần I, tính n(2). – Căn cứ số chữ số chẵn thuộc tập hợp {1; 2; 3; 4; 6; 8}, tính n(2). ” – Tính P(X) bằng cách sử dụng công thức P(X) = 1 – P(X). 24. Gợi ý. Gọi X là biến cố “trong bốn học viên chọn được, có ít nhất hai học viên nữ”. – Không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm 4 học viên, có thể lập được | từ tất cả các học viên của lớp Cao học. – Xét biến cố đối X: “trong bốn học viên chọn được, có tối đa một học viên nữ”. – 2, là tập hợp tất cả các nhóm 4 học viên, có thể lập được từ tất cả các học viên của lớp Cao học, mà trong mỗi nhóm chỉ có tối đa một học viên nữ. – Căn cứ tổng số học viên của lớp Cao học, tính n(2). – Xem gợi ý giải câu 11, tính n(2). – Tính P(X) bằng cách sử dụng công thức P(X) =1 – P(x. .. 25. Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “trong số chọn được, chữ số 2 và chữ số 3 không đứng cạnh nhau”. Hiển nhiên, không gian mẫu 2 là tập S. Do đó, n(2) = n(S) = 6!. Xét biến cố đối X: “trong số chọn được, chữ số 2 và chữ số 3 đứng cạnh nhau”. Ta có, 2 là tập hợp tất cả các số thuộc S, mà trong mỗi số, hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau. Nhận thấy, mỗi số thuộc 2, có thể được lập bằng cách thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Từ các chữ số 1, 2, 4, 5, 6, lập một số có 5 chữ số đôi một khác nhau; – Bước 2: Với số lập được ở bước 1, “chèn” chữ số 3 vào cạnh chữ số 2. Có 5! cách thực hiện bước 1, và có 2 cách thực hiện bước 2 (“chèn” chữ số 3 vào bên trái và vào bên phải chữ số 2). Do đó, theo quy tắc nhân, n(3) = 2.5!. 2.5! 2 . 0 Vì thế, P(X) =1- P(X)=1 3 .. 33. 26. Hướng dẫn giải: Gọi x là biến cố trong năm học sinh chọn được, có ít nhất một học sinh vừa giỏi Văn, vừa giỏi Toán”. Không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm 5 học sinh, có thể lập được từ 40 học sinh của lớp. Do đó, n(2) = C. Xét biến cố đối x: “trong năm học sinh chọn được, không có học sinh vừa giỏi Văn, vừa giỏi Toán”. Ta có, 2 là tập hợp tất cả các nhóm 5 học sinh, có thể lập được từ các học sinh chỉ giỏi tối đa một môn, trong hai môn Văn, Toán, Gọi x, y, z tương ứng là số học sinh chỉ giỏi Toán, chỉ giỏi Văn, giỏi đồng thời cả Văn và Toán. Khi đó, x + z là số học sinh giỏi Toán, y + z là số học sinh giỏi Văn, và x + y + z là số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Văn, Toán. Do đó, theo bài ra, ta có: [(x + 2) + (y + 2) = 21 + 16 = 37 1x + y + z = 40 – 10 = 30. Từ đó, z = 7. Suy ra, trong lớp có 40 – 7 = 33 học sinh chỉ giỏi tối đa một | môn trong hai môn Văn, Toán. Vì thế, n(2)= C . Tiếp theo, tính P(X); từ đó suy ra P(x) bằng cách sử dụng công thức P(X)=1 – P(X). 27. Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “bốn viên bị lấy ra có tối đa hai màu”. Không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm 4 viên bị có thể tạo được từ 18 (= 5 +6 +7) viên bị của hộp. Do đó, n(2) = C. Xét biến cố đối X của X. Với 4 viên bi, chỉ có thể xảy ra một trong các khả năng sau: – Khả năng 1: Bốn viên đó cùng màu (tức là có một màu); – Khả năng 2: Bốn viên đó có hai màu; – Khả năng 3: Bốn viên đó có ba màu. Vì thế, X là biến cố “bốn viên bị lấy ra có ba màu”. Nhận thấy, bốn viên bi có đủ cả ba màu khi và chỉ khi trong bốn viên đó, có 2 viên xanh, 1 viên đỏ, 1 viên vàng, hoặc có 1 viên xanh, 2 viên đỏ, 1 viên vàng, hoặc có 1 viên xanh, 1 viên đỏ, 2 viên vàng. Vì thế, X là biến cố hợp của ba biến cố đổi một xung khắc sau: – Biến cố 4: “trong 4 viên bị lấy ra, có 2 viên xanh, 1 viên đỏ, và 1 viên vàng”, – Biến cố B: “trong 4 viên bị lấy ra, có 1 viên xanh, 2 viên đỏ, và 1 viên vàng”, – Biến cố C: “trong 4 viên bị lấy ra, có 1 viên xanh, 1 viên đỏ, và 2 viên vàng”. Xét biến cố 4: Ta có 2, là tập hợp tất cả các nhóm 4 viên bi (thuộc 2), mà trong mỗi nhóm đều có 2 viên bị xanh, 1 viên bi đỏ, và 1 viên bị vàng. Do đó, n(2) = CCC, (xem hướng dẫn giải Ví dụ 9 phần I). 2 Vi thế, Pica) = CCC 5164 Xét tương tự đối với các biến cố B, C, ta được: 1271 5.16 5.6.17 P(B) SEC và PC – SC. 74 18 Từ đó, sử dụng quy tắc cộng xác suất mở rộng, tính được P(X); và vì thế, tính được P(). Bạn đọc tự giải tiếp. Chú ý: Cũng có thể tính P(X) bằng cách tính ( ). 28. Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “tổng hai số chọn được không chia hết cho 3”. Không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm hai số tự nhiên có thể tạo ra từ các số tự nhiên thuộc đoạn [1; 22]. Do đó, n(2) = C3. Xét biến cố đối X: “tổng hai số chọn được chia hết cho 3”. Dễ thấy, tổng hai số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả hai số đó cùng chia hết cho 3, hoặc trong hai số ấy, có một số chia 3 dư 1 và số còn lại chia 3 dư 2. Vì thế, X là biến cố hợp của hai biến cố xung khắc sau: – Biến cố A: “hai số chọn được cùng chia hết cho 3”; 6. – Biến cố B: “trong hai số chọn được, có một số chia 3 dư 1 và số còn lại chia 3 dư 2”. Xét biến cố A: Ta có 2, là tập hợp tất cả các nhóm gồm hai số tự nhiên chia hết cho 3 thuộc đoạn [1; 22]. Mà trong đoạn đó, có = 7 số chia hết cho 3 (theo Lưu ý 3 phần I), nên n(24) = C. Do đó, Xét biến cố B: Ta có , là tập hợp tất cả các nhóm gồm hai số tự nhiên thuộc đoạn [1; 22], mà trong hai số đó, có một số chia 3 dư 1 và số còn lại chia 3 dư 2. Do trong đoạn đó có 2 13-1] = 8 số chia 3 dư 1 và 2 +-]=7 số chia 3 dư 2 (theo Lưu ý 3 phần I), nên n(22) = C c (xem hướng dẫn giải Ví dụ 9 phần I). Vì thế, P(B) = C C Tiếp theo, sử dụng quy tắc cộng xác suất, tính P(X); và từ đó, tính P(x). Bạn đọc tự giải. Chú ý: • Có thể tính trực tiếp n(2) bằng cách dựa vào nhận xét sau: “Tổng hai số tự nhiên không chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả hai số đó cùng chia 3 dư 1, hoặc cả hai số đó cùng chia 3 dư 2, hoặc trong hai số ấy, có một số chia hết cho 3 và số còn lại chia 3 dư 1, hoặc trong hai số ấy, có một số chia hết cho 3 và số còn lại chia 3 dư 2.” Vì thế, ngoài cách nêu trên, còn có thể tính trực tiếp P(X). Tuy nhiên, từ nhận xét trên có thể thấy, làm theo cách này sẽ vất vả hơn so với làm theo cách nêu trên. • Nhận xét “tổng hai số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả hai số đó cùng chia hết cho 3, hoặc trong hai số ấy, có một số chia 3 dư 1 và số còn lại chia 3 dư 2”, ngoài việc cho thấy, X là biến cố hợp của hai biến cố xung khắc (như đã nêu trên đây), mà còn cho ta căn cứ để tính n( ); nghĩa là, | cho ta “điểm tựa” để tính P(x) bằng cách sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất. 29. Hướng dẫn giải: Gọi X là biến cố “trong hai số chọn được, có ít nhất một số lớn hơn 2021”. Không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm hai số tự nhiên lập được từ các số thuộc tập S. Bằng các lập luận tương tự các lập luận đã nêu ở hướng dẫn giải câu 5, ta tính được n(S) = 5.5.4.3 = 300. Do đó, n(2) = Cao 300 Xét biến cố đối X: “cả hai số chọn được đều không vượt quá 2021”. Ta có, v2, là tập hợp tất cả các nhóm hai số tự nhiên lập được từ các số không vượt quá 2021 thuộc S. Kí hiệu S = {s F S S 2021}. . . . [0-1. . | abcd = 2013 Nhận thấy, với abcd e S, ta có: abcd e S + abcd = 2014 | abcd = 2019. Từ đó, do lbcd là số thuộc S khi và chỉ khi bcd là dãy gồm ba chữ số đội một khác nhau (b có thể là 0), lập được từ các chữ số thuộc tập hợp {0; 2; 3; 4; 9}, ta có n(S’) = A + 3 = 63. Do đó, n(2)= C . Vì thế 300 P(X)=1 – P(X) = 1 – 2 300 C300 . | 30. Gợi ý. Xem các Lưu ý 4, 5 và hướng dẫn giải câu 22. 31. Hướng dẫn giải: Gọi x là biến cố “đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan năm khác bằng nhau”. Không gian mẫu (2 là tập hợp tất cả các cách phân chia 16 đội bóng thành 4 bảng không tên, mỗi bảng 4 đội. 2 là tập hợp tất cả các cách phân chia (thuộc S2), mà đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan nằm khác bằng nhau. • Tính n(2): Với 4 nhóm đối tượng tùy ý, có 4! cách sắp xếp 4 nhóm đó theo thứ tự 1, 2, 3, 4. Do đó, mỗi cách phân chia 16 đội bóng thành 4 bảng không tên, mỗi bảng 4 đội, sẽ cho ta 4! cách phân chia 16 đội bóng đó vào 4 bảng với tên gọi đã được ấn định trước (chẳng hạn, A, B, C, D), mỗi bảng 4 đội. Vì thế, số cách phân chia 16 đội bóng thành 4 bảng không tên, mỗi bảng 4 đội, bằng số cách phân chia 16 đội bóng đá vào 4 bảng với tên gọi đã được ấn định trước, mỗi bảng 4 đội, chia cho 4!. Nói cách khác, n(2) bằng số cách phân chia 16 đội bóng vào 4 bảng với tên gọi đã được ấn định trước, mỗi bảng 4 đội, chia cho 4!. Để phân chia 16 đội bóng vào 4 bảng với tên gọi A, B, C, D (đã được ấn định trước), mỗi bảng 4 đội, cần thực hiện liên tiếp bốn bước sau: – Bước 1: Chọn 4 đội, đưa vào Bảng A; – Bước 2: Chọn 4 đội, trong số các đội còn lại sau bước 1, đưa vào Bảng B; – Bước 3: Chọn 4 đội, trong số các đội còn lại sau bước 2, đưa vào Bảng C; – Bước 4: Chọn 4 đội, trong số các đội còn lại sau bước 3, đưa vào Bảng D. Theo Lưu ý 1 (xem phần I), có Ca cách thực hiện bước 1, C, cách thực hiện bước 2, C, cách thực hiện bước 3, và C cách thực hiện bước 4. Do đó, theo quy tắc nhân, có CC, CC cách phân chia 16 đội bóng vào 4 bảng với tên gọi đã được ấn định trước là A, B, C, D. Vì thế y ! 16. 12 16128 n(Q) – C.C.C.COM 4! • Tính n(2): Để phân chia 16 đội bóng thành 4 bảng không tên, đảm bảo hai đội Việt Nam và Thái Lan nằm khác bảng nhau, cần thực hiện liên tiếp hai bước sau: – Bước 1: Chọn ra 3 đội, trong đó không có đội Thái Lan, để ghép với đội | Việt Nam thành một bảng; – Bước 2: Phân chia 12 (= 16 – 4) đội còn lại thành ba bảng không tên. Có C, cách thực hiện bước 1. 4 74 74 12.4 3! 44 40 141 V814 3! Bằng cách lập luận tương tự trên (khi tính n(2)) sẽ thấy, có thực hiện bước 2. Do đó, theo quy tắc nhân, n(2,)= CCCC • Tính P(x): Bạn đọc tự tính. 32. Hướng dẫn giải: Gọi x là biến cố “bốn viên bị lấy ra có đúng hai màu”. Không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm 4 viên bi, có thể tạo được từ | 18 (=7+ 6+ 5) viên bị của hộp. Do đó, n(2) = C. Xét biến cố đối X của X. Lập luận tương tự như ở hướng dẫn giải câu 27 sẽ thấy X là biến cố “bốn viên bị lấy ra có cùng màu, hoặc có ba màu”. Vì thế, X là biến cố hợp của hai biến cố xung khắc sau: 18. – Biến cố A: “bốn viên bị lấy ra có cùng màu”, – Biến cố B: “bốn viên bị lấy ra có ba màu”. Xét biến cố A: Vì 2, là tập hợp tất cả các nhóm 4 viên bị cùng màu thuộc 2 nên n(2) = C + C + C. Do đó P(4) C+ C + C C18 . Xét biến cố B: Căn cứ hướng dẫn giải câu 27, bạn đọc tự tính P(B). Tiếp theo, sử dụng quy tắc cộng xác suất, bạn đọc tự tính P(X); từ đó suy ra P(X). Chú ý: Có thể tính trực tiếp P(x), không thông qua P(x). Làm theo cách này, để tính n(2), sẽ phải xét tất cả các tình huống đảm bảo 4 viên bị lấy ra có đúng hai màu (có tất cả 9 tình huống như vậy). 33. Gợi ý. Gọi X là biến cố “hai số chọn được đều lớn hơn 2021”. – Không gian mẫu 2 là tập hợp tất cả các nhóm hai số tự nhiên, lập được từ các số thuộc tập S. | – L2, là tập hợp tất cả các nhóm hai số tự nhiên, lập được từ các số lớn hơn 2021 thuộc tập S. – Sử dụng hướng dẫn giải câu 29, tính n(2) và n(2); từ đó, tính P(X). Đáp án Câu Đáp Đáp Câu Đáp Câu Đáp Câu Đáp Đáp Câu Đáp 1 B 8 A 15 A 22 C 29 D 2 | D9 | A | 16 C 23 A300 3 | A | 10 | C | 17 | B | 24 | B | 31 | B 4 | D 11 | D | 18 | D 25 D 32 D 5 | C | 12 B | 19 | D 26 | C | 33 | A | 6 | D 13 D 20 | A | 27 | B I | 7 D 14 A 21 B 28 AT Đáp án án án