Đáp án
Nguồn website dethi123.com
I.1. Kiến thức 1. Mặt tròn xoay. Mặt nón tròn xoay)
– Hiểu định nghĩa mặt tròn xoay, khối tròn xoay. Biết giao của mặt tròn xoay với mặt phẳng chứa trục, với mặt phẳng vuông góc với trục.
– Hiểu được khái niệm mặt nón tròn xoay (còn gọi là mặt nón), đỉnh, góc ở đỉnh, đường sinh; giao của nó với mặt phẳng chứa trục, với mặt phẳng vuông góc với trục; hình (khối) nón tròn xoay, mặt đáy, mặt xung quanh, chiều cao, đường sinh của nó.
XO
– Nhớ được các công thức tính thể tích khối nón; công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của mặt nón:
+ Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay: S = Tưl , r là bán kính đường tròn đáy, 1 là độ dài đường sinh. L + Thể tích của khối nón tròn xoay: V =- oh, r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao (độ dài đường cao). 2. Mặt trụ (tròn xoay)
– Hiểu được khái niệm mặt trụ tròn xoay (còn gọi là mặt trụ), trục, bán kính, đường sinh; giao của mặt trụ với mặt phẳng vuông góc với trục (biết rằng giao của
mặt trụ với mặt phẳng không song song với đường sinh là một elip); hình (khối) trụ, mặt đáy, mặt xung quanh, chiều cao, đường sinh của nó.
– Nhớ được các công thức tính thể tích khối trụ; công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của mặt trụ:
| + Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay: S =2l, r là bán kính đường tròn đáy, 1 là độ dài đường sinh.
+ Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = TƯoh, r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao (độ dài đường cao). 3. Mặt cầu
– Hiểu được khái niệm mặt (khối) cầu, tâm, bán kính, đường kính, mặt phẳng kính; tính chất đối xứng của mặt cầu qua tâm, qua đường kính, qua mặt phẳng kính; giao của mặt cầu với mặt phẳng qua tâm là đường tròn lớn; giao của mặt cầu với mặt phẳng cách tâm một khoảng bé hơn bán kính là đường tròn, bằng bán kính là một điểm (mặt phẳng đó gọi là tiếp diện của mặt cầu tại tiếp điểm); giao của mặt cầu với đường thẳng thường là cặp điểm, khi cặp điểm này trùng nhau thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.
– Mặt phẳng (đường thẳng) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến nó bằng bán kính mặt cầu, mặt phẳng (đường thẳng) tiếp xúc với mặt cầu tâm O tại điểm M thuộc mặt cầu khi và chỉ khi nó vuông góc với OM tại M. Mặt cầu gọi là ngoại tiếp khối đa diện (lồi) nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện đó. Khi xét các yếu tố của mặt cầu như tiếp diện, tiếp tuyến của nó, …, ta xét giao của toàn bộ hình với một mặt phẳng thích hợp và thường có thể đưa về xét một đường tròn trong mặt phẳng đó.
– Nhớ được các công thức tính thể tích khối cầu, công thức tính diện tích mặt cầu: . + Diện tích của mặt cầu: S=47Tr”, r là bán kính mặt cầu.
+ Thể tích của khối cầu: V = ro, r là bán kính mặt cầu.
I.2. Kĩ năng
| 1. Biết cách tạo nên mặt nón, mặt trụ, mặt cầu nhờ quay hình, quay đường quanh một đường thẳng (gọi là trục). Biết mỗi mặt đó là quỹ tích của các điểm thỏa mãn một tính chất hình học quen thuộc.
Ví dụ 1. Cho lục giác đều cạnh bằng 1. Tính diện tích của hình tròn xoay có được khi quay các cạnh của lục giác đó quanh đường thẳng đi qua hai đỉnh đối diện của nó.
A. 413. B. 31/3. . C. 273. D. TV3. + Hướng dẫn giải: Diện tích của hình tròn xoay gồm diện tích xung quanh của hai hình nón có đường sinh 1, bán kính đáy bằng 1 và diện tích xung quanh một hình trụ có đường kính đáy bằng 3, đường sinh bằng 1. ..
Chọn đáp án C. Có thể coi là câu hỏi ở cấp độ nhận biết.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khi quay các cạnh của hình chóp S.ABC xung quanh trục AB, hỏi có bao nhiêu hình nón được tạo thành? A. Hai hình nón.
B. Một hình nón. C. Ba hình nón.
D. Không có hình nón nào. Hướng dẫn giải: Đề bài hỏi có bao nhiêu hình nón được tạo thành chứ không hỏi khi quay các cạnh của hình chóp ta được hình gì? (ta thừa nhận một cách trực quan khi quay SC quanh AB ta không được hình nón). – Chọn đáp án A. Có thể coi đây là câu hỏi ở cấp độ thông hiểu.
2. Sử dụng thành thạo công thức tính thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu, công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón, hình trụ, diện tích hình (mặt) câu,
Ví dụ 3. Cho hình nón tròn xoay có độ dài đường sinh là 2a, góc ở đỉnh của hình nón bằng 60°. Tính thể tích V của khối nón đã cho.
To3
A. V = ra.
B. V =Ta’ 13.
C. V = Ta v3
D. V = ra.
| Hướng dẫn giải: Tính được dễ dàng bán kính đáy và chiều cao của hình nón. Chọn đáp án C. Có thể coi đây là câu hỏi ở cấp độ thông hiểu.
Ví dụ 4. Một khối gỗ hình trụ bán kính đáy bằng 1, chiều cao bằng 2. Người ta khoét rỗng khối gỗ bởi hai nửa hình cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là
D. L
.
đường tròn lớn của mỗi nửa hình cầu. Tính tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ.
C. D. Hướng dẫn giải: Thể tích phần còn lại là hiệu của thể tích khối gỗ và thể tích khối cầu.
Chọn đáp án A. Có thể coi đây là câu hỏi ở cấp độ thông hiểu.
3. Xác định được thiết diện của mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục, mặt phẳng chứa trục.
Ví dụ 5. Một hình nón có chiều cao h=3, bán kính đáy R =5. Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón nhưng
là một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 8. Tính diện tích của thiết diện.
A. 873. B. 672. c. 24V2. D. 1272.
Hướng dẫn: Gọi thiết diện là SAB. Gọi I là trung điểm của AB thì A = 4, OI= 3, từ đó SI = 32. Vậy diện tích thiết diện là 122. Chọn đáp án D.
Có thể coi đây là câu hỏi ở cấp độ thông hiểu.
Ví dụ 6. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 1, chiều cao OO’ = 3 (O, O là hai tâm của hai đáy). Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho khoảng cách giữa AB và OO’ luôn là Y, ở đó A, B thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp trung điểm I của AB là hình gì? | A. Một mặt trụ.
B. Một mặt cầu. C. Một đường tròn. | D. Một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải: Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì d(AB; OO) =”I’ (với I là trung điểm của A’B). Gọi J là trung điểm của 00′ thì IJI O0. Như vậy 1 thuộc mặt phẳng trung trực (P) của OO’ và mặt cầu tâm J, bán kính . Vậy chọn đáp A: án C. Có thể coi đây là câu hỏi ở cấp độ vận dụng.
Chú ý: + Có thể thấyIe (P) nói trên và mặt trụ có trục là OO, bán
đó chọn đáp án C.
+ Có thể coi 1 (P) và L- (với 1 cách một khoảng 8 nên thuộc
đường tròn tâm J, bán kính
Y
trong (P).
SA
D
–
8
* Ví dụ 7. Tứ diện ABCD có AB = AC = 2 , BC = 2; DB = DC = 43 . Góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (DBC) bằng 45°. Hình chiếu H của A trên (DBC) và D nằm về hai phía BC. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
50 A. 51. B. *
Phân tích: Có thể tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng các cách khác nhau, chẳng hạn nếu có hai đỉnh của tứ diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới góc vuông thì khoảng cách giữa hai đỉnh còn lại này là đường kính mặt cầu. Cũng có thể tính bán kính thông qua mô tả tâm. Ở đây, do ABCD có một số kích thước có vẻ đặc biệt nên ta tính cạnh còn lại. Với giả thiết thì AMD=135° (M là trung điểm của BC).
Hướng dẫn giải: Có AM = 1, DM = 42, AMD=135° từ đó AD = 45 . Vậy xảy ra ABD= ACD = 90°, tức là AD là đường kính và suy ra diện tích mặt cầu. Chọn đáp án A. – 4. Biết các tính chất hình học của mặt phẳng tiếp xúc, đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu; giao của mặt phẳng, của đường thẳng và mặt cầu. Hình dung được, “dựng” được (tìm được tâm, bán kính) mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đều, hình chóp đều; mặt cầu nội tiếp hình lập phương.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB = AC = 1, A = 120°, mp(SAC) mp(ABC); góc giữa SB, SC và mp(ABC) cùng bằng 45°. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. VS B. 15. c. 275. D. 375. – Hướng dẫn giải: Gọi H là chân đường cao hình
A chóp thì H thuộc đường thẳng AC. Khi đó HBS = HCS = 45° nên HB = HC, tức là H thuộc trung
trực của BC, mà trung trực của BC lại qua A. Do đó H trùng với A. Như vậy SA = 1. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC thì A’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AA’ = 1. Từ đó xác định được tâm O của mặt cầu và R = 5) + AA = 1
Vậy chọn đáp án A. Có thể coi đây là câu hỏi ở cấp độ vận dụng cao. Ví dụ 9. Tính thể tích của hình cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng a 2. A ra2 sz. B. ra2 s2 c. ta . D. Ta
6
Hướng dẫn giải: Tâm của hình cầu nội tiếp hình lập phương trùng với tâm của hình lập phương. Đáp án A. Có thể coi đây là câu hỏi ở cấp độ thông hiểu.
5. Biết sử dụng linh hoạt các kiến thức, kĩ năng trên để giải quyết một tình huống cụ thể có liên quan đến mặt nón, mặt trụ, mặt câu. – Ví dụ 10. Cho hai đường thẳng song song d và d. Xét tâm các mặt cầu tiếp xúc với d và d”. Chọn câu đúng:
A. Tâm các mặt cầu đó nằm trên một đường thẳng cố định. B. Tâm các mặt cầu đó nằm trên một mặt cầu cố định. C. Tâm các mặt cầu đó nằm trên một mặt phẳng cố định. . . . . . . D. Tâm các mặt cầu đó nằm trên một mặt trụ cố định.
Phân tích: Qua tâm M của mặt cầu như thế vạch mặt phẳng vuông góc với d và d’ cắt d, do theo thứ tự tại H, H’ thì trong mặt phẳng đó M cách đều H, H’ nên M thuộc đường trung trực của HH’. Chọn đáp án C. – Ví dụ 11. (Câu 42, Đề minh họa môn Toán Kì thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. . A v-57151 BV – 50151 cv-4731 18
54 | Phân tích: Chỉ cần tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Gọi H là trung điểm của AB thì (SHC) là mặt phẳng trung trực của AB, mặt khác (SAB) 1 (ABC) nên CHI (SAB), SHI (ABC). Như vậy, tâm O của mặt cầu phải tìm thuộc (SHC) và (SHC) chứa trục của ASAB và AABC.
Hướng dẫn giải: Xét hình vẽ trong mp(SHC):
D. V = 5
54
CV = 27″
| Cách 1. Gọi d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì di qua Oi (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) và dị || SH. Tương tự cho da là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Kí hiệu O là giao điểm của dị, da thì O là tâm mặt cầu. Ta có O HOẠO là
lot
hình vuông cạnh
.
6
H
0,
Vậy R = 10^ + O C
. Suy ra v=TR – 415 4. Chọn đáp án B.
54
Cách 2. Tâm O của mặt cầu thuộc (SHC), mặt khác tam giác SHC vuông cân, cạnh góc vuông bằng Y, đường trung trực của SC cắt di tại O. Ta cũng có
OHO là tam giác vuông cân, 00 – vì vậy, (6) (6)
Từ
đó đi đến đáp án.
Cách 3. Gọi C là điểm sao cho CC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là CCI =^. Do tâm O của mặt cầu thuộc (SHC) nên bán kính mặt cầu bằng bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCC. Dễ thấy
3
28, hay
SC = SH + HC – (15 (6) – Vậy ta có . 5 = 2R, tức là A-55, từ đó có đáp án.
C
!
A
Chú ý: Có thể tính R bởi công thức tính diện tích tam giác S = 4
4R
Cách 4. Gọi K là trung điểm của SC thì HK là trục đối xứng của hình chóp đã cho. Vì vậy, tâm O của mặt cầu phải tìm thuộc HK. Đặt OK = x thì
SC2
AB2
R2 = x? +
-, mặt khác Ro =(
-, mà HK =>
, từ đó tìm được x,
4 , mão
4 ; ma
tức là có R.
thể chọn hệ tọa độ để Ho; 0, 0), (1,0,0), c, 5,,
Chú ý: Có thể chọn hệ tọa độ để H(0; 0; 0),
s0; 0; } để tìm đáp số.
để tìm đáp số.
.
+
www….
Ví dụ 12. Cho hình trụ trục OO’ = 46, bán kính đáy bằng 2; AB là một dây cung của đường tròn tâm O, AB = 2. Mặt phẳng (ABO) cắt đường tròn tâm O’ tại C, D. Diện tích tứ giác ABCD bằng A. 12. B. 372.
c.9.
D. 6.. Hướng dẫn giải: Ta có AB // CD.
Cách 1. Gọi I là trung điểm của AB thì IO’ là đường cao của hình thang ABCD.
102 = ( 73 )* +(76)* = 9, CD = 4. Vậy Sancp =(2+4).3=9. Vậy chọn C. Có thể coi câu này ở mức độ vận dụng.
Cách 2. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng chứa đường tròn (O’) thì A’B’ = 2. Điểm 1 có hình chiếu là I (trung điểm của A’B’). Khi đó S B CD = SABCD . cosp.
ABCD
.
A’B’CD
ABCD
A’B’CD
AR
Chú ý: Nếu xét mặt phẳng qua AB và song song với OO’ thì nội dung câu hỏi này gần với câu 38, mã đề 101, đề thi THPTQG năm 2019: Cho hình trụ có chiều cao bằng 53. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 10/37. B. 57391… C. 20131.5 D. 10/397.
II. C U HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho tam giác đều ABC cạnh 1. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trong mặt phẳng (P) xét đường tròn (O) đường kính BC. Tính bán kính mặt cầu (S) đi qua (S) và điểm A.
13 A. 13. B.
c. Ž. 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh cùng bằng a. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó.
A. a 2. B. av2 … C.a/3. nemit. D. ay3. 3. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4, diện tích đáy bằng diện tích
một mặt cầu bán kính bằng 1. Tính thể tích khối trụ đó. A. 4. B. 6.
D. 10. 4. Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là hình vuông.
Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. A. 2R3. B. 3R3.
C. 4R.
D. 5R3. Cho mặt phẳng (P) và điểm S nằm ngoài (P). Gọi A là điểm cố định thuộc (P) sao cho SA không vuông góc với (P). Một đường thẳng d thay đổi nằm trong (P) và đi qua A. Tìm tập hình chiếu H của S trên d.. A. Một mặt cầu.
. B. Một mặt trụ. .. ” | C. Một mặt nón.
D. Một đường tròn. Cho hai đường thẳng song song a và b. Gọi (P) và (Q) là các mặt phẳng thay đổi lần lượt qua a và b, (P) (O). Kí hiệu giao tuyến của (P) và (2) là c. Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề đúng. A. c thuộc một mặt phẳng cố định. B, C thuộc một mặt trụ cố định. C. c thuộc một mặt nón cố định. D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai. Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng 1 thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng 18. Tìm tập hợp hình chiếu H của B trên 1. A. Một mặt phẳng.
B. Một mặt trụ. C. Một mặt nón.
| D. Một đường tròn. Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đổi một vuông góc, AB= 1, BC=2, CD=3. Quay tứ diện đó quanh trục BC. Tính tổng thể tích các khối nón tạo thành. 201
207
B. 2017 A. 2017
2011 B.
2
c. 2017
A
.
–
D.
81
27
1
36
w
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Các kích thước được ghi (cùng đơn vị dm). Tính thể tích của bồn chứa. A. 142.35.
B. 143.32 42
18
C. 1.35
D.7.
10. Hình nón có bán kính đáy 1, chiều cao h = 2. Tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình nón đó.
A B C D… 11. Tứ diện SABC có hai tam giác SBC, ABC là các tam giác đều cạnh 1,
SA = 3. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
A. V13. B. 113 12. Tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 1, BAC = 120°. Cho miền tam giác đó
lần lượt quay quanh AB, BC. Kí hiệu VI, V, là thể tích các khối tạo thành. 1. Tính tỉ số .
A. V3. B. 213. c. 13 D.
c. : D. YOU
2
13.
4. V6
14.
Ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. C là điểm cố định trên Oz, đặt OC = 1; A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA + OB = OC. Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. A. V6
V6 c Vo
D. VO. Hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao cũng bằng 1. Tính tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón và thể tích khối nón. A. 2. B. 3. C. 4.
D. 5. Xét các hình nón nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Khi thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất, tính bán kính đáy của nó theo R..
RV2
c. Ry3 D. Ry3
15.
4 2RV2
.
| 16.
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R = 3. A là điểm sao cho AI = 5. Xét các tiếp tuyến AM với mặt cầu (S), M là tiếp điểm. Gọi ( ) là tập các điểm M. Khi đó (7) là: A. Một mặt phẳng vuông góc với AI tại H mà AH =
B. Một mặt trụ có trục là AI, bán kính 2.
C. Một mặt nón đỉnh A, trục là AI, góc ở đỉnh là 2a mà tana =.
D. Một đường tròn (C) có tâm H (H nằm trên đoạn AI và AH
..
.
12
kính ở trong mặt phẳng (P) vuông góc với AI tại H.
C. 432.
17. Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R = 33. A là điểm cố định thuộc (S). Xét
ba tia Ax, Ay, Az đôi một vuông góc và cắt (S) tại B, C, D (B, C, D + A). Xét hình hộp dựng trên ba cạnh AB, AC, AD. Thể tích của khối hộp đó có giá trị lớn nhất bằng A. 216. B. 108.
11.
D 54: 18. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ các đường chéo AC, BD
của hình chữ nhật. Khi quay các cạnh và các đường chéo của hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB, hỏi có bao nhiêu hình nón được tạo thành? A. Một hình nón.
B. Hai hình nón. C. Ba hình nón.
D. Không có hình nón nào. 19. Cho tứ diện ABCD có AB 1 mp(BCD), mp(ABC) 1 mp(ACD). Gọi C, D là
hình chiếu của B lần lượt trên AC, AD. Tính diện tích mặt cầu đi qua các điểm B, C, D, C, D, khi BC= 3, CD= 4.
A. 507. B. 251. . C. . D. 237. 20. Cho hai mặt phẳng song song (P), (O); M là điểm thuộc phần không gian
nằm giữa (P) và (O). Mặt cầu (S) thay đổi tiếp xúc với (P), (Q) và đi qua M. Khi đó tập hợp tâm I của (S) là: A. Mặt phẳng. B. Mặt cầu. C. Mặt trụ.
D. Đường tròn. 21. | Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, góc ở đỉnh a mà a > 90°.
Trên đường tròn đáy lấy điểm A cố định và điểm M thay đổi. Số vị trí của M để diện tích tam giác SAM lớn nhất là A. Vô số. B. 1.
C. 3.
: D. 2.
22. Cho hình chóp S.ABC có SAI (ABC) và AC > AB. Khi quay các cạnh SC và
SB quanh trục SA thì hình được tạo thành là hình nào? A. Một hình nón. B. Hai khối nón có chung đáy.
C. Một khối nón. | D. Hai mặt xung quanh của hai hình nón có chung đỉnh. 23. Cho hình chóp đều S.ABC, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi quay các
cạnh của hình chóp S.ABC cùng với đoạn 4G xung quanh trục SG, hỏi có bao nhiêu hình nón được tạo thành? A. Ba hình nón.
– B. Hai hình nón. C. Một hình nón.
D. Không có hình nón nào. 24. Cho hình nón có chiều cao bằng 1, bán kính đáy bằng 2. (P) là mặt phẳng
qua định hình nón và cách tâm O của đáy một khoảng 3. Tính diện tích thiết diện 3 do (P) cắt hình nón..
.
A. V6.
B. VO
c V3
D. 73.
2
25. Trong mặt phẳng cho góc xOy. Một mặt phẳng (P) thay đổi và vuông góc
với đường phân giác trong của góc xOy cắt Ox, Oy tại A, B. Trong (P) lấy M sao cho AMB = 90°. Hỏi các điểm M chạy trên đường (mặt) nào? A. Một đường tròn.
B. Một mặt cầu. C. Một mặt nón.
D. Một mặt trụ. 26. Cho mặt trụ (T) có trục d, bán kính bằng 2; điểm A có khoảng cách đến d
bằng 4. Gọi I là điểm thuộc d mà AI = 4/2 . Thể tích của hình được tạo bởi (T) và các mặt phẳng lần lượt qua A, cùng vuông góc với d là
. A. 161. B. 127. . . C. 81. . . D. 41. 27. Cho hình chóp S.ABC có SA l mp(ABC), tam giác ABC cân tại A,
BAC = 120°, góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là a mà cos a=1, khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng 3. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và chiều cao hình nón bằng độ dài cạnh SA của hình chóp. A. 37611. B. 27/67. C. 9/611. D. 81761.
4. Sr
3
6
28. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mp(SAC) mp(ABC),
góc giữa SB và SC với mp(ABC) cùng bằng 30°. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. B. SA
D. 51. 29. Trong các hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu có bán kính bằng 3,
tính diện tích xung quanh của hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất. A. 6. B. 91. C. 181.
D. 121. 30. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, khoảng cách từ A đến
mp(SCD) bằng 1. Tính thể tích khối nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại
tiếp tứ giác ABCD. : A. V B .
VIC . YOX, .. . D. 137 31. Một hình nón có đường sinh bằng a/2 và góc giữa đường sinh và mặt
phẳng đáy bằng 60°. Tính thể tích của khối nón được tạo nên từ hình nón đó. A raro B. raso c. raro D. ra2so
4 . 12 .
3 . 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên đáy là trung điểm O của cạnh BC. Biết rằng
AB = a, AC = a/3, đường thẳng SA hợp với đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối nón có đỉnh là S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A. Ta 13. B. Ta?. CT3 V3
12
–
.-
..
–…
6
33. Cho hình chóp đều S.ABCD. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có một
đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD, trục là đường cao SH của hình chóp, biết rằng cạnh đáy hình chóp bằng 1, khoảng cách từ A đến mp(SCD) bằng ”
1
.
D. 2V7te.
A. .. ons B. .
C. – 34. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng cách 0 một
khoảng bằng 1 và cắt (S) theo đường tròn (C). Hình nón (V) có đáy là (C),
đỉnh thuộc (S) và cách mặt phẳng (P) một khoảng lớn hơn 2. Kí hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích của khối cầu (S) và khối nón (.). Tính tỉ số 1
A. 32 35. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 1. Gọi I, V,
lần lượt là thể tích của các khối trụ nhận được khi quay các cạnh của hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB và xung quanh trục AD. Hệ thức nào sau đây là hệ thức đúng? A. V2 = 4V. B. V
C. V2 = 2V. D. V2 =V. 36. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O, R) và (O’, R). Có một dây cung
AB của đường tròn (O, R) sao cho tam giác O’AB là tam giác đều và mặt phẳng (O’AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O, R) một góc 60°. Tính thể tích khối trụ. A. RR2 B. 3rR2 . . RR27
D. BAR? 17
B
B.
3
37. Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), BAC = 60°, AB=1, 2. Gọi B, C là
hình chiếu của A lần lượt trên SB, SC. Tính diện tích mặt cầu đi qua A, B, C, B1, C1. A. 41. B. 61.
C. 21. I!. D. 87. 38. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AB =1, AD = 13,
BCD= 60°. Tính thể tích của hình tròn xoay có được khi quay các cạnh của hình thang quanh đường thẳng AD. A 80/ 3 70/3
D TV3 C. 773. *
F.
3 39. Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R; A là điểm mà AI = 2R. Gọi (P) là mặt
phẳng vuông góc với AI tại I; (a) là mặt phẳng thay đổi, song song với (P) và có điểm chung với (S). Khi khoảng cách từ A đến (a) lớn nhất thì (a) qua điểm M mà
A. MI =-1A. B. MA= 2Mİ. C. MA=-2Mİ. D. Mi = = 40. Trong các hình nón có đường tròn đáy nằm trên mặt cầu (S) bán kính bằng 3, đỉnh hình nón thuộc (S), tính thể tích V của khối nón có thể tích lớn nhất.
321 A. 647. : B. 161.
D. 327.
41. Cắt một khối nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được một tam giác
vuông cân có diện tíc
. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
B.9872.
c. 3773
D. Bav2.
2
2
A. 9ny2 42. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, cạnh bên SA tạo với đáy
một góc 60°. Một hình nón có đỉnh là S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích xung quanh Sa của hình nón đã cho. .
…
41a
27a
… A. Sony = 47°
B. Sy – 2za?
C. Sumama. D. Sama?
na2
ma
ха
D. S
3
xo =
.
.
3
2 ; 43. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 5. Một hình nón tròn
xoay được sinh ra khi quay các cạnh của tam giác AA’C xung quanh trục AA”. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A. 251. B. 25v21. C. 25731.’ D. 25767. 44. Cho miền hình thang vuông ABCD (vuông ở A, B), AB = BC = 1, AD = 2
quay quanh đường thẳng đi qua D và song song với AB. Tính thể tích V của khối tạo thành. A 1110
111 ) c llne 9 111 |
A.
B.
45. Cho một hình trụ và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh A, B nằm trên
đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ một góc 45°. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. i ta? 13 ma13 B. 4 . C. tap 5
taV6 : 4 46. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O, R) và (O; R). Dây cung AB của
đường tròn (O) thỏa mãn 40’AB đều và mặt phẳng (O’AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O) một góc 60°. Tính diện tích xung quanh hình trụ.
2
A ZR? VI
B 67R? VI
c. BaR? V7
D. 2nR? 17
3ra2
D5na2
47. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân AB = AC = 1,
BAC = 120° , diện tích tam giác AB’C’ bằng 2. Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ. …
A. 47311. B. 31311. C. 731…. D. 27311. 48. Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một
thiết diện có diện tích bằng bao. Tính thể tích của khối trụ. ** A. 12ta’. B. 24na’. C. Ta’. D . 3ta’.’ 49. Một hình nón có đường sinh bằng a/2 và góc giữa đường sinh và mặt
phẳng đáy bằng 60°. Tính diện tích toàn phần của hình nón. A. ra?. B. 3ta
2 50. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 3, AD = 4, AC = 61. Tính
diện tích toàn phần của hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp A’B’C’D’ và đỉnh là tâm của mặt ABCD.
457 ar A. 451.
B. ** c. 457 51. Cho hình chóp đều S.ABCD, mặt bên tạo với đáy một góc 45°. Một khối nón
có đỉnh là S, đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Gọi a là góc ở đỉnh của hình nón, tính cos a .
A. cosa = B. cosa = 13. C. cosa = 10 D. cosa 52. Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng 1. Khoảng cách từ B đến
mp(SCD) bằng ý. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
D. 451
on
21
A. 2 : a C. 21.
D. 2v21. 53. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính bằng 1; A là điểm mà AO = 2; (P) là mặt | phẳng vuông góc với OA tại O. (a) là mặt phẳng song song với (P) và cắt (S)
mà d(A; (d)) = d(A;(P) thì diện tích hình thiết diện thu được bằng
D. 1.
54. Cho mặt cầu (S) tâm O và đường thẳng d không có điểm chung với (S). Số
điểm M thuộc d mà từ đó có thể kẻ tiếp tuyến MA với (S) (A là điểm tiếp xúc) sao cho độ dài MA nhỏ nhất là A. Vô số. B. 3.
C. 2. 55. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính bằng 1; (P) là mặt phẳng mà khoảng cách
từ 0 đến (P) lớn hơn 1. Số điểm M thuộc (P) để từ đó kẻ được tiếp tuyến MA với (S) (A là điểm tiếp xúc) mà độ dài MA nhỏ nhất là .. A.0.
B.3.
. C. 2.
D. 1. : i 56. Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R = 5 và mặt phẳng (P) cắt (S) theo một
đường tròn (C) có bán kính r= 3. Kết luận nào sau đây là không đúng? A. Tâm của (C) là hình chiếu vuông góc của I trên (P). B. Khoảng cách từ 1 đến (P) bằng 4. C. (C) là đường tròn lớn của mặt cầu.
D. Tâm của (C) nằm bên trong mặt cầu. 57. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính bằng 1; (P) là mặt phẳng mà d(O; (P)) =2. Số
điểm M thuộc (P) để từ đó kẻ được tiếp tuyến MA với (S), (A là điểm tiếp xúc) mà độ dài MA bằng 19 là A. O. B. 1. C.2.
D. Vô số. 58. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân, AB = BC = 1, ABC = 120°;
SA l (ABC), SA =2. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. . 12 . 5
V2 … 26.
2
cav2.
2:
60. Hình hän on
59. Cho hình lập phương cạnh a nội tiếp trong một mặt cầu. Tính bán kính
đường tròn lớn của mặt cầu đó. * A. av2… Bav3
‘ D. a 3.
2 60. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên AA’ = 2/6, B’C’= 3, diện tích mặt đáy bằng 12. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp trên. 3431 34370 3431
34371
– 8 61. Cho khối cầu (S) tâm O, bán kính R và A là điểm thuộc mặt cầu (S). Mặt
phẳng (P) đi qua cắt (S) theo một hình tròn và tạo với OÁ một góc 60°. Tính diện tích hình tròn đó.
B. , c.”. D. ***
B.
–
24
31R?
37R?
A. TR2
B. –
C
62. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a3 , cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA = a2 . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. 161a?. B. 3ta”. C. 12ra2. D. bra?.
2
63. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại A, (SAB) và (SAC) cùng vuông
góc với (ABC), khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng 3, góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là a mà tan a = 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp SABC. A. 271. B. 811.
D. 5411 .
8171
64. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính 2; (P) là mặt phẳng cách O một khoảng
bằng 3. Số điểm M thuộc (P) để từ đó kẻ được các tiếp tuyến MA, MB với (S) (A, B là các tiếp điểm) mà mặt phẳng (MCB) đi qua O và tam giác MAB đều là A. O. B. Vô số. C. 1.
D. 2. 65. Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C,
AC = 2/2 và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60°. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 4 1121 2241160
C. 1601. D. 407.
A.
–
| 66. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân, BA = BC = 1, ABC = 120°,
SA l (ABC). Tính diện tích mặt cầu đi qua A, B, C, B1, C1 (B1, C là hình chiếu của A lần lượt trên SB, SC). A. 21. B. 41. C. 65.
D. 81. 67. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = 2 , DB = DC = 3 , BC = 2, góc giữa
mp(ABC) và mp(DBC) bằng 45°; hình chiếu H của A trên mp(DBC) và D về một phía của BC. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. . 5a
C. 511.
5T
A.
2
2
4.
68. (Câu 49, mã đề 104, đề thi THPTQG 2017). .
Trong các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 3, tính cạnh đáy a, chiều cao h của hình chóp đều có thể tích lớn nhất. A. a = 4, h=2. B. a = 2, h = 4. C. a=h=2. D.a=h=4.
69. Cho hình trụ có trục OO’=6 , bán kính bằng 2. A, B là hai điểm thuộc
đường tròn đáy tâm O mà AB = 2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABO) bằng A. 1. . B. 2. .. c. /. . D. √2.
Đáp án
1. Gọi I là trung điểm của BC thì AI là trục của đường tròn (O). Tâm mặt cầu là
trọng tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu bằng –
C.
2. Tâm mặt cầu là giao của AC và BD, bán kính mặt cầu bằn;
Chon B. .
3. Gọi r là bán kính đáy hình trụ thì r= 2, từ đó chiều cao hình trụ bằng 4 và
thể tích khối trụ bằng 4. Chọn A. 4. Chiều cao hình trụ bằng 2R, cạnh đáy hình lăng trụ bằng R2. Thể tích khối
lăng trụ bằng 4R°. Chọn C. 5. Kẻ SO I (P) thì AHÔ = 90°, H thuộc (P) nên H thuộc đường tròn đường
kính AO trong (P). Chọn D.
Chú ý: Có thể chọn D bởi H thuộc (P) và mặt cầu đường kính SA. 6. Ta có c || a, c || b. Gọi (R) là một mặt phẳng cố định, (R) la và (R) cắt a, b,
c lần lượt tại A, B, C, ta có ACB = 90°. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và d Il a thì khoảng cách từ c đến d bằng 42. Từ đó chọn B.
7. Ta có BAH = 30° (H là hình chiếu của B trên I). Gọi K là hình chiếu của H
trên AB thì K cố định. H thuộc mặt nón trục AB, góc ở đỉnh 60° và mặt phẳng vuông góc với AB tại K. Vậy chọn D. Cũng có thể chọn D bởi H thuộc mặt cầu đường kính AB và mặt phẳng nêu
trên. 8. Có hai khối nón, khối 1 đỉnh C, đường cao BC = 2, bán kính đáy bằng 1;
khối 2 đỉnh B, đường cao BC = 2, bán kính đáy bằng 3. Vậy chọn B. 10. Bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác cân có cạnh
đáy bằng đường kính của đáy nón, chiều cao tương ứng bằng đường cao hình
nón. 11. Thể hiện hình vẽ bằng một trong hai cách:
Cách 1: C là đỉnh thì CA = CB = CS và tam giác ABS cân.
Cách 2: S là đỉnh thì (SAM) là mặt phẳng trung trực của BC (M là trung điểm của BC). Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì bán kính R của mặt cầu bằng bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD,
tính R bởi định lí sin trong tam giác. 12. V===CH2. AB (CH I AB); V= = RAK?.BC (AK I BC).
…….
..
…..
.
.
.
.
..
……….
.
.
.
..
–
………
.
.——-
IA” – R
16
vuông đó thì AH _AM“
13. Bán kính R của mặt cầu tính bởi R = OA +OB^ +OC.
2 Vì OC = 1, OA + OB = OC = 1 hay OA^ + OB^ =1-2OA.OB. Vậy R nhỏ nhất khi và chỉ khi OA.OB lớn nhất, tức là OA = OB = . Giá trị bé nhất của
bán kính mặt cầu phải tìm được nêu tại phương án A. 14. Dễ thấy mặt cầu ngoại tiếp hình nón có tâm là tâm đáy hình nón, bán kính
bằng 1. Vậy tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp khối nón và thể tích khối nón
được nêu tại phương án C. 15. Trong hình nón có hệ thức r2 = (2R – h); r, h tương ứng là bán kính đáy và
chiều cao hình nón. 16. Ta có AMI là tam giác vuông tại M. Kí hiệu H là chân đường cao của tam giác
g. Điều này chứng tỏ H cố định, tức
AI 5 5 là M thuộc (P) vuông góc với AI tại điểm H nêu trên. Mặt khác M thuộc (S). Vậy tập ( ) là đường tròn (C) giao của (P) và (S), đó là đường tròn nêu trong D. Vậy chọn đáp án D. Chú ý. Ta còn có thể chọn được phương án D vì M thuộc (P) nêu trên, mặt khác M thuộc mặt trụ có trục AI, bán kính r = MH =^. Vậy tập ( d) là đường tròn nêu trong D. Cũng có thể lập luận M thuộc mặt (P) nêu trên, mặt khác M thuộc mặt nón N đỉnh A, trục AI, góc ở đỉnh 2a mà sin a =. Vậy M thuộc đường tròn nêu trong D, do đó chọn đáp án D. Từ bài tập này có thể tìm lại kết quả câu 39 mã đề 101 đề thi môn Toán kì thi
THPT quốc gia năm 2018. 17. Hình hộp có được như đã nêu là hình hộp chữ nhật nhận tâm I mặt cầu là tâm,
đường chéo hình hộp AA’ = 2R, hình hộp đó nội tiếp (S). Từ đó AB? + AC? + AD2 = 4R2 = 108.
Ta lại có Vhp = AB.AC.AD. Từ đó Vhộp lớn nhất khi và chỉ khi AB.AC3.AD lớn nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi AB^ = AC = AD^ = 36 hay AB = AC = AD=6. Vậy chọn phương án A. Chú ý. Có thể thay “Thể tích hình hộp có giá trị lớn nhất” bằng “Diện tích toàn phần hình hộp đó lớn nhất bằng… Bạn đọc tự tìm ra giá trị lớn nhất và đề ra 4 phương án. Từ nội dung bài tập này có thể nhìn lại nội dung câu 47 mã đề 101 đề thi môn
Toán kì thi THPT quốc gia năm 2018. 19. BCI (ACD) nên BCD = 90° và BC 1 CD, mặt khác CD 1 AB từ đó
DC l (ABC), tức là DC ICB. Vậy mặt cầu đó có tâm là trung điểm của BD
và diện tích mặt cầu đó là 4 (3) = 25m , do đó chọn đáp án B. 20. (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên d(I; (P) = d(I; (Q). Do (P) // (Q) nên bán kính
mặt cầu bằng 3 (4 là khoảng cách giữa (P) và (O). Vì (S) qua M nên IM = 4, nghĩa là 1 thuộc mặt cầu (SI) tâm M bán kính 3. Gọi (R) là mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P), (2), dễ thấy (R) và (SI) cắt
nhau. Vậy chọn đáp án D. 21. Ta có SSM = SA”.sin ASMSAM lớn nhất khi và chỉ khi sin ASM lớn
nhất. Vì ASM 90°. 2) Từ câu 20 có thể đề cập câu hỏi sau: Với mặt cầu (S) cho trước và (P) là mặt phẳng cố định cắt (S). Số điểm M thuộc (P) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của (S) và đi qua điểm M là A. 10. B. 20. C. 30. D. Vô số. Hướng dẫn: Gọi (C) là đường tròn giao của (S) và (P). Với mỗi M thuộc (C) thì có mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại M. Vậy có ít nhất hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đặt ra. Với M nằm ngoài (C), tức là M ngoài (S), với mỗi M đó các tiếp tuyến với (S) đi qua M tạo thành mặt nón đỉnh M. Để có ít nhất hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì góc ở đỉnh a của mặt nón thỏa mãn a> 90° hay AOM 245°
ASAM
SAM
(O là tâm (S), A là một điểm tiếp xúc). Từ đó OM> <2R (R là bán kính (S). Như vậy RẺ <OM < 2R. Vậy chọn D. Liên hệ với câu 49, mã đề 104, đề thi THPTQG 2019: Cho mặt cầu (S): x + y +(2-1)^ =5. Có tất cả bao nhiêu điểm A(a; b; c). thuộc mặt phẳng (Oxy), a, b, c nguyên sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 12.
B. 16. C. 20. D. 8. Hướng dẫn: Theo hướng dẫn của câu trên ta có tâm mặt cầu (S) là I(0; 0; 1), bán kính R = 15. Mặt phẳng (Oxy) cắt (S) theo đường tròn tâm (0; 0; 0), bán kính 2. Như vậy 550A <10, c= 0. Từ đó 4<a +b^ a=+2, b=+1 hay a=+1, b = 2. Có 8 điểm A. • a +b^ = 88 a=+2, b=+2. Có 4 điểm A.
Vậy có 20 điểm và chọn đáp án C. 2. Các tam giác SAC, SAB cùng vuông ở A nên khi quay các cạnh SC, SB quanh
SA ta được hai mặt xung quanh hai hình nón chung đỉnh S. Do AC > AB nên
chọn đáp án D. 23. Vì SG I(ABC) nên khi quay S4, AG quanh SG ta được một hình nón. Do
GC = GB nên SB, SC thuộc hình nón đó. Vậy chọn đáp án C. 24. cử là tam giác SAB. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ OH 1 SM thì OH = 2.
, 1 1 1
có os: *OM OH hay 1+OM=2, tức là OM = 1. Vậy BM = OB – OM =3 hay BM = 3 và SM = V2.
SASAB = BM.SM= 6 . Do đó chọn đáp án A. 25. Gọi Oz là đường phân giác của góc xOy, (P) là mặt phẳng vuông góc với
Oz tại H và cắt Ox, Oy tại A, B thì H là trung điểm của AB. Với M thuộc
thuộc mặt nón trục Oz , góc ở đỉnh bằng xOy. Do đó chọn đáp án C. 26. Thể tích phải tính là thể tích khối trụ tạo bởi (T) và hai mặt phẳng đã cho,
bán kính 2, chiều cao IJ, ở đó J thuộc d, AJ ld. Vì AJ= 4, AI= 4/2 nên
IJ=4. Vậy V =22. 1. 4=16. Chọn đáp án A. 27. Gọi M là trung điểm của BC thì SMA = a.
AM – AH 3
sin a sing, từ đó AM = 36 S,
ra SA = 33. Gọi O là điểm đối xứng của A qua M. Vì AABC cân tại A, BAC = 120° nên AB = AC = 36 và O là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC, bán kính đường tròn đó bằng 36 . Đường sinh 1 của hình nón đó là 1 = (313)2 + (316)’ = 27+54 = 81, 8C tức là 1 = 9. Vậy S = 1.36.9 = 27/6T, từ
đó chọn đáp án B. 28. Vì (SAC) I (ABC) nên chân đường cao H của
hình chóp thuộc đường thẳng AC. Với H đã có thì HBS = HCS nên H thuộc đường trung trực của BC. Mặt khác trung trực của BC đi qua A. Vậy H trùng với A, từ đó
x4
.
SA = AB. tan 30o =
1
:
+
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A ABC, lấy điểm D sao cho AOLOI là hình chữ nhật, I là trung điểm của SA. Tâm mặt cầu phải tìm là O và
SA2 (13_11_5 R?=+3= iż+ģ=ī
50
*
Từ đó diện tích mặt cầu là ST. Vậy chọn đáp án A.
0
–
ha
HM2 HK
H92 1436
–
–:
C
DINO
V
=
-T. — 3 2
Từ đó chọn đáp án B.
2
12
29. Kí hiệu bán kính đáy hình trụ là r, chiều cao hình trụ là h thì h = 2/9 –r.
S = 2acth = 4Tr9 –= 47 – (9-r). Sxq lớn nhất khi và chỉ khi
r = . Vậy giá trị lớn nhất của Sxq là 18T. Do đó chọn đáp án C. 30. Ta có d(A; (SCD)= 2d(H; (SCD), từ đó.
HK = d[H; (SCD) – VOZ Do The Home Hoka huay += 6,
tức là HS= 13. Như vậy thể tích khối nón là “H v ệ 28 Từ đó chọn đáp án B.
Ta có BC= 2a, AO=a, SO = av5. Từ đó v ỗ ta. Vậy chọn đáp án C. 3. Ta tính được SH? Vậy S, v5.2 1. Từ đó chọn đáp án B. 34. Bán kính đáy hình nón v = 4 – 1 = 3. Chiều cao khối nón h = 3. Vậy
v, 133 7 – 32 . Từ đó Chọn đáp án A. 36. Ta có: OO’ LOAB). Gọi H là trung điểm của AB thì
OH 1 AB, O’H 1 AB OHO’ = 60°. Giả sử OH = x. Khi đó: OO’ = xtan60° = x/3. Xét AOAH , ta có: AH = R – x”. Vì AO’AB đều nên: O’A = AB = 2 AH = 27R? – x2 (1). . Mặt khác, AAOO’ vuông tại O nên O’A = 002 + R2 = 3×2 + R2 (2). Từ (1) và (2) = 4(R” – x) = 3x + R x = 3 = 1 = 00 – xv5 – 387 Ta có V – TRÒh 3mx 17
3. Ta tính được SH =
– = T. Từ đó chọn đáp án B.
2
9
37. Ta có BC = 3, từ đó ABC là tam giác vuông tại B.
Như vậy ACC = ABC = ABC = 90°, tức AC là đường kính mặt cầu đi qua A, B, C, B1, C. Diện tích mặt cầu đó là 41. Chọn đáp án A. . Chú ý. Có thể khẳng định hai trục của hai đường tròn ngoại tiếp AABB, AACC cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy bán kính mặt cầu đó 4.2.— bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
BC Áp dụng công thức .” = 2R, BC = 3, ta có R=1.
Từ đó chọn đáp án A. 38. Gọi E là giao điểm của AD và BC thì dễ tính được DC = AB+A2 =2, AE = , BC=2.
* V3″ Thể tích khối tròn xoay đang xét bằng hiệu số thể tích khối nón đỉnh E, hình tròn đáy có bán kính bằng DC với thể tích khối nón đỉnh E, hình tròn đáy có bán kính bằng AB. Suy ra thể tích / đó bằng 42 ( 3 + (3)-37-73. Ta có (a)LIA, (a) tiếp xúc với (S) hay (a) cắt (S). Có hai mp(@) tiếp xúc với (S) tại hai giao điểm M, MV của AI với (S), giả thiết MiA
1 SA
3
63. Gọi M là trung điểm của BC thì SMA = a. Từ
tan a = V2, ta có cosa = . Mặt khác AH = SA sin ASH = SAcosa, tức là SA= 373, do đó AM =^. Do ABC là tam giác vuông Abe cân tại A nên BC = 3,6 và AB = AC = 3/3.
81
Đường kính d của mặt cầu ngoại tiếp SABC được tính bởi do = 3.(3/3) = 81 hay d=9, tức là R=3. Diện tích mặt cầu là 4.8 = 81%.
Do đó chọn đáp án B. .. 64. Với mỗi điểm M thuộc (P) thì M ở ngoài (S). Do vậy từ M có các tiếp tuyến
với (S). Khi (MAB) qua 0 và MAB là tam giác đều thì OM = 30° và OAM = 90°, từ đó OM = 2.2 = 4, tức là M thuộc mặt cầu (SI) tâm O, bán kính 4. Mặt khác, M thuộc (P) mà d(O; (P)) = 3 nên M thuộc giao của (S1) với (P). Vậy chọn đáp án B.
Chú ý: Có thể đề cập nội dung trên dưới dạng tọa độ. 65. Ta có SCA = 60°, từ đó SA = 26 ; SB là đường kính mặt cầu, SB = 40.
Vậy chọn đáp án D. 66. Bán kính mặt cầu phải tìm bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Do BA = BC = 1, ABC = 120° nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 1. Từ đó diện tích mặt cầu đi qua A, B, C, B1, C, là 40. Vậy chọn
đáp án B. 67. Gọi M là trung điểm của BC, theo giá thiết
thì AMH = 45°; AM = 1, MD = 2 , từ đó
HM = AH = =, hay H là trung điểm của MD và AMD là tam giác vuông cân tại A. Gọi K là điểm đối xứng của H qua M thì
w
KBP = 1+ KA
KB? = 1+ KMR=1+(12) = 3., KDPR. K
BD = 3, từ đó KBD là tam giác vuông tại B hay KD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Vì (AMD) là mặt phẳng trung trực của BC nên tâm mặt cầu phải tìm thuộc mp(AMD) và bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ADK. Ta có K4 = KH + AH = 2+2 =,
te lå AK = TEM
Từ đó, 4k
nghĩa là R =
Vậy diện tích
sin ADA sin ADK
v2 :3 =2R
4
mặt cầu đó là 4.5 = 5T. Do đó chọn đáp án C. Chú ý: Có thể tính R bởi: Gọi O là trung điểm của MH thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Gọi Ot là trục của đường tròn đó, đường trung trực của AD cắt trục Oịt tại 0 thì 0 là tâm mặt cầu. Từ đó R2 = ODP = ID? + OP = + + MAP
.
+1=2, tức là R=> Vậy chọn đáp án C.
4 4 68. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R thì tâm O của
mặt cầu thuộc đường SH. Gọi SS’ là đường kính của mặt cầu thì ta có AH = SH.HS’ = n(2R – h) (h là chiều cao hình chóp). Nếu gọi a là cạnh đáy thì 4 = H(2n–h). Thể tích V của khối chóp
2
Q2
3
11
là V =>a”.h =4.2h.h(6 -h.h.(12-2h).
3 3 Từ đó V đạt giá trị lớn nhất khi h= 4. Suy ra do = 8.(6 – 4) = 16 hay a = 4. Vậy chọn đáp án D. Chú ý: 1) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC. Như vậy 1AC SH = AC.SASC, từ đó có a = 2 (2R – h).
4R 2) Có thể tính R mặt cầu bởi R=>
SA SH2 + AH?
C 2 H 2 CH và cũng có a =2h(2RA). 69. Gọi I là trung điểm của AB thì (OO’I) vuông góc với (O’ AB), tam giác
O’OI vuông tại O. Từ đó d(O;(ABO)) bằng h (chiều cao của tam giác o’OI kẻ từ O). Mặt khác AB = 2, bán kính đường tròn bằng 2 nên OI = 3. Sử dụng 1 1 1 1 1 1
– 1. Vậy h = 2. Chọn đáp án D. h2 002 012 6 3 2
Đáp án
54
57
Câu | Đáp án | Câu | Đáp án | Câu | Đáp án | Câu | Đáp án 1 C | 19 B 36 D 53 C 2 B 20 D 37 | A 31 A T 21 D | 38 | B | 55 D | 22 D 39
39
56 23
40 24 41
58 7 D 25
42 B 59 8 26
43 D 60 A 1 27
61 10 28
45 11 D 29 C 46 B 12 A 30 B l 47
64 31
65 14 C 32 C
49 15 A 33
50 16
51 A 68
| C 52 B 69 18
44
62 63
13
48
66 67
34
35